Література: [Л.1], стр. 388-390

[Л.2], стр. 263-267

стр. 197-203

Модель дискретного сигналу виду (8.10) передбачає, що відлікові значення аналогового (безперервного) сигналу конкретного сигналу, з одного боку, є періодичним на осі частот з періодом , А спектр періодичного на осі часу сигналу є лінійчатим, слід очікувати, що спектр розглянутого обмеженого дискретного сигналу повинен бути періодичним на осі частот і носити лінійчатий характер. Дійсно, для обмеженого в часі дискретного сигналу його подання (8.10) приймає вигляд

.                        (8.12)

Оскільки відповідно до прийнятої методики аналізу є періодичним з періодом , Розкладемо його в комплексний ряд Фур’є

,                              (8.13)

де; .

Комплексні амплітуди для розглянутого випадку обчислюються наступним чином

.          (8.14)

Підставляючи (8.12) в (8.14), отримаємо

.

Вводячи безрозмірну змінну і змінюючи порядок підсумовування і інтегрування, отримаємо

.

І нарешті, враховуючи фільтруюче властивість-функції, остаточно приходимо до результату

.                   (8.15)

З огляду на те, що є постійною величиною, її в (8.15) можна опустити і користуватися тільки номерами відліків (8.15) приймає вигляд

.                           (8.16)

Вираз (8.16) є прямим дискретним перетворенням Фур’є (ДПФ) і являє собою алгоритм обчислення спектральних коефіцієнтів при відомих значеннях відліків . При цьому, обчислення проводяться з використанням математичних операцій складання, множення та затримки засобами ЕОТ.

Сукупність являє собою дискретний спектр періодичного дискретного сигналу. На рис. 8.3б зображена спектральна функція дискретного сигналу. Як і передбачалося, спектральна функція є періодичною з періодом , Оскільки періодичним є співмножник в (8.16) і дискретний сигнал також розглядається як періодичний (значення аргументу повторюються через кожні відліків). При цьому, якщо число відліків дискретного сигналу парне, то перші значень складових відповідають позитивним частотам, а наступні значень , А також – Негативним частотам (рис. 8.3б). Очевидно, що .

Надалі зручно представляти дискретний сигнал у вигляді дискретної послідовності відліків . Тоді, як періоду дискретного сигналу виступає значення числа відліків і послідовність є періодичною з періодом . Аналогічно і спектральна функція є дискретною по осі частот послідовністю з тим же періодом .

Поряд з прямим ДПФ існує і зворотне перетворення Фур’є

.                             (8.17)

Зворотне ДПФ дозволяє розрахувати послідовність відлікових значень , Тобто дискретний сигнал, якщо відома його спектральна функція у вигляді сукупності значень . Очевидно, зворотне ДПФ призводить до періодичної тимчасової функції з періодом в відліків.

Відзначимо важливе для практичного використання ДПФ обставина. При виведенні (8.16) передбачалося, що дискретний сигнал являє собою періодичну функцію часу. Разом з тим на практиці дискретний сигнал визначений на інтервалі або на інтервалі . Поза цим інтервалу відлікові значення рівні нулю, однак і в цьому випадку вирази (8.16) і (8.17) справедливі для розрахунків. Дійсно, послідовність відліків , Визначених на інтервалі , Можна розглядати як тільки один період відповідної періодичної послідовності і значення , Розраховані відповідно до (8.16) слід вважати рівними нулю поза інтервалу . Аналогічно, йде справа і при обчисленні значень за формулою (8.17).

Розглянемо деякі властивості ДПФ. Для стислості запису пару ДПФ будемо представляти у вигляді

.

1. Лінійність ДПФ. Нехай і два дискретних сигналу довжиною відліків, а і – Постійні коефіцієнти. Тоді

.            (8.18)

2. Властивість тимчасового зсуву. Якщо дискретному сигналу відповідає ДПФ , То

,                           (8.19)

тобто зрушення дискретного сигналу на інтервалів призводить до зміни тільки його фазового спектра. Зазначимо, що часовий зсув для дискретної послідовності являє собою, так званий кругової зрушення. При круговому зсуві значення відліків в залежності від знака по черзі переносяться на початок або кінець послідовності . Так, наприклад, кругової зсув послідовності на інтервалів при призводить до послідовності

,

тобто відліків по черзі переносяться в кінець послідовності.

3. Властивість симетрії. Це властивість фактично було вже розглянуто вище при аналізі спектральної функції (рис. 8.3б). Якщо – Парне число, то властивість симетрії визначається наступним виразом

.                                  (8.20)

Наведемо деякі співвідношення, що випливають з (8.16).

Спектральна складова

,                                (8.21)

є середнім значенням всіх відліків.

Якщо – Парне число, то

.                              (8.22)

Джерело: Медіченко М.П., ​​Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.