Література: [Л.1], с 217-221

Операторні метод є узагальненням спектрального методу. В основі методу лежить перетворення Лапласа. Розглянемо деякий сигнал , Визначений на інтервалі часу (0,). Помножимо цей сигнал на і отриманий новий сигнал піддамо перетворенню Фур’є

.

Позначаючи через , Одержимо

    .                             (5.28)

Вираз (5.28) називається одностороннім перетворенням Лапласа функції . При цьому, називають оригіналом, а зображенням.

Неважко переконатися, що при вираз (5.28) перетвориться до виду

,

що відповідає перетворенню Фур’є. Таким чином якщо перетворення Фур’є є спектральне розкладання сигналу по гармонійним складовим , То перетворення Лапласа – розкладання сигналу  по експоненціально – косинусних складовим . Дійсно, уявімо

.

Тут використана формула Ейлера

.

З іншого боку

,

де.

Тоді остаточно

являє собою експоненціально – косинусних функцію.

Перехід від зображення до оригіналу здійснювала-вляєтся за допомогою зворотного перетворення Лапласа

. (5.29)

Для значної частини функцій широко використовуваних при описі оригіналів були розраховані зображення по Лапласа. Деяка частина оригіналів і зображень наведена в таблиці 5.1.

Оскільки перетворення Лапласа є узагальненням перетворення Фур’є, то воно має ті ж властивості, що й перетворення Фур’є. Зупинимося на деяких з них, які будемо використовувати надалі. Пару перетворень (пряме і зворотне) будемо позначати наступним чином

                                                .

1. Лінійність перетворень Лапласа

                (5.30)

2. Властивість тимчасового зсуву

                              (5.31)

3. Операція диференціювання

;                         (5.32)

4. Операція інтегрування

.                                     (5.33)

Застосуємо до обох частин рівняння (5.16) пряме перетворення Лапласа. Тоді з урахуванням (5.32), отримаємо

    (5.34)

звідки слід

 .                  (5.35)

Це відношення називається передатною функцією ланцюга або її операторним коефіцієнтом. Таким чином, передатна функція є оператором перетворення лінійної ланцюгом в базисі експоненціально – косинусних сигналів.

Порівняємо вираз комплексного коефіцієнта передачі (5.18) з виразом (5.35). З цього порівняння випливає, що комплексний коефіцієнт передачі є окремим випадком при , Тобто

                                                         (5.36)

Таким чином, якщо відома передатна функція ланцюга, то операторний метод пошуку відгуку ланцюга полягає в наступному:

– знаходиться зображення по Лапласа вхідного сигналу

;                                        (5.37)

– знаходиться зображення вихідного сигналу як добуток

;                                (5.38)

– визначається оригінал вихідного сигналу

.                                      (5.39)

Встановимо зв’язок між тимчасовими характеристиками і передавальної функцією. Провівши в (5.12) заміну на , Одержимо

.

Таким чином, передатна функція і імпульсна характеристика пов’язані між собою перетворенням Лапласа

.

Що стосується перехідної характеристики, то застосовуючи до (5.8) перетворення Лапласа та враховуючи (5.33), отримаємо

.

На закінчення відзначимо, що операторний метод дозволяє зводити лінійні диференціальні рівняння виду (5.16) до алгебраїчним рівнянням (5.34), що дозволяє в ряді випадків спростити аналіз ланцюгів. Крім цього, враховуючи широке розповсюдження таблиць перетворень Лапласа для великого числа функцій, можна виключити громіздкі обчислення, безпосередньо звертаючись до цих таблиць.

Розглянемо застосування операторного методу на прикладі аналізу визначення відгуку RC-ланцюга на вхідний сигнал виду . Це завдання було вирішено класичними тимчасовими методами. Спектральним методом був знайдений комплексним коефіцієнт передачі. Замінивши у виразі для ланцюга на , Отримаємо передавальну функцію ланцюга

.

Слідуючи операторному методу знайдемо зображення по Лапласа вхідного сигналу, скориставшись при цьому таблицею 5.1

.

Далі, відповідно до (5.38), визначимо зображення вихідного сигналу

.

І нарешті, по таблиці 5.1 (позиція 5) знаходимо оригінал

,

що збігається з отриманими раніше результатами.

Джерело: Медіченко М.П., ​​Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.