Література: [Л.1], стр. 155-161

[Л.2], стр. 406-416, 42-426

[Л.3], стр. 80-81

математичними моделями випадкових сигналів і перешкод є випадкові процеси. Випадковим процесом (СП) називається зміна випадкової величини в часі. До випадкових процесів відноситься більшість процесів, що протікають в радіотехнічних пристроях, а також перешкоди, які супроводжують передачу сигналів по каналах зв’язку. Випадкові процеси можуть бути безперервними (НСП), або дискретними (ДСП) в залежності від того, яка випадкова величина безперервна або дискретна зміняться у часі. Надалі основну увагу буде приділено НСП.

Перш ніж приступити до вивчення випадкових процесів необхідно визначиться зі способами їх подання. Будемо позначати випадковий процес через , А його конкретну реалізацію – через . Випадковий процес може бути представлений або сукупністю (ансамблем) реалізацій, Або однієї, але досить протяжної в часі реалізацією. Якщо сфотографувати кілька осцилограм випадкового процесу і фотографії розташувати одну під одною, то сукупність цих фотографій представлятиме ансамбль реалізацій (рис. 5.3).

Тут – Перша, друга, …, k-а реалізації процесу. Якщо ж відобразити зміна випадкової величини на стрічці самописця на досить великому інтервалі часу T, то процес буде представлений єдиною реалізацією (Рис. 5.3).

Як і випадкові величини, випадкові процеси описуються законами розподілу та імовірнісними (числовими) характеристиками. Імовірнісні характеристики можуть бути отримані як усереднення значень випадкового процесу по ансамблю реалізацій, так і розподілених на одній реалізації.

Нехай випадковий процес представлений ансамблем реалізацій (рис. 5.3). Якщо вибрати довільний момент часу і зафіксувати значення, що приймаються реалізаціями в цей момент часу, то сукупність цих значень утворює одномірне перетин СП

і являє собою випадкову величину . Як уже підкреслювалося вище, вичерпної характеристикою випадкової величини є функція розподілу або одномірна щільність ймовірності

.

Природно як , Так і , Володіють всіма властивостями функції розподілу та щільності розподілу ймовірності, розглянутими вище.

Числові характеристики в перерізі визначаються відповідно до виразами (5.20), (5.22), (5.24) і (5.26). Так, зокрема математичне очікування СП в перерізі визначається виразом

,                          (5.40)

а дисперсія – виразом

.      (5.41)

Однак, законів розподілу і числових характеристик тільки в перерізі недостатньо для опису випадкового процесу, який розвивається в часі. Тому, необхідно розглянути друге перерізі (Рис. 5.3). В цьому випадку СП буде описуватися вже двома випадковими величинами і , Рознесеними між собою на інтервал часу і характеризуватися двовимірної функцією розподілу і двовимірної щільністю , Де , . Очевидно, якщо ввести в розгляд третє, четверте і т.д. перетину, можна прийти до багатовимірної (N-мірної) функції розподілу і відповідно до багатовимірної щільності розподілу .

Найважливішою характеристикою випадкового процесу служить автокореляційна функція (АКФ)

,   (5.43)

встановлює ступінь статистичного зв’язку між значеннями СП в моменти часу і

Подання СП у вигляді ансамблю реалізацій призводить до поняття стаціонарності процесу. Випадковий процес є стаціонарним, Якщо всі початкові і центральні моменти не залежать від часу, тобто

, .

Це жорсткі умови, тому при їх виконанні СП вважається стаціонаром у вузькому сенсі.

На практиці використовується поняття стаціонарності в широкому сенсі. Випадковий процес стационарен в широкому сенсі, якщо його математичне сподівання і дисперсія не залежать від часу, тобто:

; ,          (5.44)

а автокореляційна функція визначається тільки інтервалом і не залежить від вибору на осі часу

.                      (5.45)

Надалі будуть розглядатися тільки стаціонарні у широкому сенсі випадкові процеси.

Вище зазначалося, що випадковий процес крім подання ансамблем реалізацій, може бути представлений єдиною реалізацією на інтервалі часу T. Очевидно, всі характеристики процесу можуть бути отримані усередненням значень процесу за часом.

Математичне сподівання СП при усередненні за часом визначається таким чином:

.                           (5.46)

Звідси випливає фізичний зміст : Математичне очікування – це середнє значення (постійна складова) процесу.

Дисперсія СП визначається виразом

.                       (5.47)

і має фізичний зміст середньої потужності змінної складової процесу.

Автокореляційна функція при усередненні за часом

.  (5.48)

Випадковий процес називається ергодичним, Якщо його імовірнісні характеристики, отримані усередненням по ансамблю, збігаються з імовірнісними характеристиками, отриманими усередненням за часом єдиною реалізації з цього ансамблю. Ергодична процеси є стаціонарними.

Використання виразів (5.46), (5.47) і (5.48) вимагає, строго кажучи, реалізації випадкового процесу великий (теоретично нескінченної) протяжності. При вирішенні практичних завдань інтервал часу обмежений. При цьому більшість процесів вважають приблизно ергодичним і імовірнісні характеристики визначають відповідно до виразами

;                               (5.49)

;

.

Випадкові процеси, у яких виключено математичне сподівання, називаються центрованими. Надалі під і будуть матися на увазі значення центрованих випадкових процесів. Тоді вирази для дисперсії і автокореляційної функції приймають вид

;                               (5.50)

.                        (5.51)

Відзначимо властивості АКФ ергодичним випадкових процесів:

– автокореляційна функція є речової функцією аргументу ,

– автокореляційна функція є парною функцією, тобто ,

– при збільшенні АКФ убуває (необов’язково монотонно) і при прагне до нуля,

– значення АКФ при одно дисперсії (середньої потужності) процесу

.

На практиці часто доводиться мати справу з двома і більше СП. Так наприклад, на вхід радіоприймача одночасно надходить суміш випадкового сигналу і завади. Взаємний зв’язок між двома випадковими процесами встановлює взаємна кореляційна функція (ВКФ). Якщо і – Два випадкових процесу, які характеризуються реалізаціями і , То взаємна кореляційна функція визначається виразом

.                       (5.52)

Взаємна кореляційна функція характеризує ступінь статистичного зв’язку між значеннями випадкових процесів в моменти часу і .

Часто використовують коефіцієнт взаємної кореляції

,                                         (5.53)

причому .

Два випадкових процесу і називаються некоррелірованнимі якщо .

Серед різноманіття випадкових процесів найбільш широко поширеним є нормальний випадковий процес. Нормальний випадковий процес в будь-якому перерізі його реалізації характеризується щільністю ймовірності

.                              (5.54)

Для нормального випадкового процесу всі числові характеристики, крім математичного сподівання і дисперсії, дорівнюють нулю. Оскільки дисперсія являє собою значення АКФ при , То нормальний випадковий процес повністю визначається математичним очікуванням і автокорреляционной функцією . Тому (5.54) можна представити таким чином

.                           (5.55)

Двовимірна щільність розподілу ймовірностей значень і нормального випадкового процесу, розділених інтервалом часу , Має вигляд

,             (5.56)

де – Нормована автокореляційна функція процесу.

Слід зазначити, що для нормального випадкового процесу некоррелированности двох значень, розділених інтервалом часу , Означає і їх статистичну незалежність.

Джерело: Медіченко М.П., ​​Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.