3.1. Теорема Котельникова

Література: [Л.1], с 122-127

[Л.2], с 66-70

[Л.3], с 187-190

Передача безперервних (аналогових) сигналів по лінії зв’язку припускає передачу нескінченної кількості їх миттєвих значень протягом кінцевого проміжку часу. При цьому спектр фінітного, тобто обмеженого в часі, безперервного сигналу нескінченний. Однак, на практиці різні радіотехнічні пристрої (фільтри, підсилювачі та інші) мають обмежену смугу пропускання, що призводить до обмеження спектра сигналу деякою граничною частотою Тоді відношення

               (3.8)

може служити оцінкою точності відновлення сигналу. Переймаючись величиною можна визначити частоту , А отже і частоту діскретіза ції .

Розглянемо наступний приклад. Нехай сигнал на інтервалі часу описується експоненційної функцією

Скориставшись перетворенням Фур’є, знайдемо спектральну функцію сигналу

.

Модуль спектральної функції

,

а енергетичний спектр

.

Скориставшись виразом (3.5), знайдемо енергію сигналу

.

Відповідно до (3.6), обчислимо :

.

При розрахунку і використаний табличний інтеграл

.

Знайдемо величину середньоквадратичної помилки відновлення

.

Уявімо

.

Тоді

,

звідки слід

.

Вважаючи, що для малих значень

,

отримаємо

.

Тепер можна знайти

,

або переходячи до циклічних частотам

.

Частота дискретизації

.

Таким чином, задаючись величиною можна визначити частоту дискретизації неперервного сигналу. Очевидно, число відліків при дискретизації розглянутого сигналу дорівнюватиме

.

З наведеного прикладу випливає, що чим меншу помилку відновлення потрібно забезпечити, тим вище повинна бути частота дискретизації.

Теорема Котельникова встановлює однозначна відповідність між аналоговим сигналом і відліками його миттєвих значень в тимчасовій області. Виявляється, можна сформулювати теорему відліків і в частотній області. При цьому візьмемо до уваги, що комплексний спектр одиночного сигналу тривалістю є суцільним. Тоді має місце наступне твердження. Спектральна функція сигналу , Обмеженого в часі величиною повністю визначається сукупністю відліків , Віддалених один від одного на частотний інтервал , тобто

.                     (3.9)

Теорема відліків в частотній області грунтується на властивості симетрій перетворень Фур’є щодо змінних (Або ) І . Суть цієї властивості полягає в тому, що перетворення Фур’є періодичного сигналу з періодом призводить до лінійчатої (дискретної) спектральної функції, де окремі спектральні складові (див. підрозділ 2.1) відстоять один від одного по осі частот на величину (Або ), І навпаки, перетворення Фур’є періодичної спектральної функції з періодом призводить до дискретної тимчасової функції з періодом .

Виходячи з цієї властивості, якщо в (3.2) замінити на ; на , А на , То в результаті отримаємо вираз (3.9). Як і у випадку розкладання сигналу в ряд Котельникова, розкладання його спектра обмежується відліками. Тоді вираз (3.5) в частотній області приймає вид

.             (3.10)

Здавалося б, для відновлення спектральної функції за сукупністю відліків , Необхідно знати відліків модуля і відліків аргументу комплексних величин . Однак, якщо врахувати, що модуль спектра , Тобто амплітудний спектр є четной функцією, а аргумент , Тобто фазовий спектр – непарній функцією, то число незалежних відліків скорочується вдвічі і становить , Тобто одно базі сигналу.

Підводячи підсумок вищевикладеного, зазначимо, що теорема Котельникова встановлює принципову можливість подання безперервного сигналу послідовністю його миттєвих значень. Таку операцію іноді називають імпульсним перетворенням безперервного сигналу. Таке перетворення лежить в основі імпульсних методів передачі повідомлень в радіотехнічних системах. Більш того, дискретизація безперервних сигналів у відповідності з теоремою Котельникова є проміжною операцією при формуванні цифрових сигналів, які в даний час знайшли найширше розповсюдження як в радіотехнічних системах передачі повідомлень, так і радіоелектронних системах обробки, відображення та реєстрації інформації, і в багатьох інших областях.

Джерело: Медіченко М.П., ​​Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.