Куренівський А. А., Храмов А. Е.

Саратовський державний університет Саратов -410012, Росія Тел.: (8452) 523864; e-mail: aeh@cas.ssu.runnet.ru

Анотація – У доповіді вивчається хаотична фазова синхронізація коливань в двох зв’язаних електронноволнових системах зі зворотним хвилею і кубічного фазової нелінійністю (ЛОВ з поперечним полем). Запропоновано методика аналізу хаотичної фазової синхронізації розподіленої системи за допомогою вейвлетного перетворення, розглянуті фізичні процеси, які супроводжують перехід розподіленої активного середовища в режим хаотичної синхронізації

I. Вступ

Дослідження явища синхронізації автоколивальних систем різної природи привертає значний інтерес [1, 2]. Серед подібних досліджень в даний час особливо актуально вивчення явища хаотичної синхронізації нелінійних автоколивальних систем. Вивчення явища хаотичної синхронізації є досить важливим стосовно передачі інформації за допомогою детермінованих хаотичних коливань [3]. Однак, явище хаотичної синхронізації докладно вивчено тільки для динамічних систем з малим числом ступенів свободи [4, 5]. Синхронізація хаотичних автоколивань в розподілених активних середовищах вивчена в значно меншому ступені. Одними з типових автоколивальних систем НВЧ електроніки, демонструють складні хаотичні коливання, є системи із зустрічною (зворотної) хвилею [6], в якій має місце генерація ВЧ випромінювання при взаємодії електронного потоку з синхронної йому зустрічній ЕМ хвилею. У представленій доповіді за допомогою чисельного моделювання досліджується фазова хаотична синхронізація двох зв’язаних електронноволнових систем зі зворотним хвилею і кубічного фазової нелінійністю (ЛОВ з поперечним полем) [7].

II. Основна частина

У представленій доповіді досліджується система двох активних розподілених систем взаємодіючих зустрічних хвиль з кубічного фазової нелінійністю і односпрямованої зв’язком, при якій сигнал з виходу однією з систем подається з деяким ослабленням р (коефіцієнтом зв’язку) на вхід другої системи. Система взаємодіючих хвиль з кубічного нелінійністю є найпростішою моделлю електронно-хвильових систем із зустрічною (зворотної) хвилею, таких як ЛОВ типу О, МЦР із зустрічною хвилею, ЛОВ на аномальному ефекті Доплера, ЛОВ з поперечним полем. Така система є однією з найпростіших моделей СВЧ електроніки, яка демонструє різні типи хаотичних автоколивань, що робить її зручним об’єктом для вивчення синхронізації хаотичних коливань в розподілених електронних системах зі зворотним хвилею. Основним керуючим параметром досліджуваної незв’язаної системи є безрозмірна довжина системи (пропорційна струму пучка при фіксованій довжині простору взаємодії) А. При значенні А> 3,9 в ЛОВ з поперечним полем спостерігаються розвинені хаотичні коливання, саме в цьому діапазоні А вивчалися спільні коливання в системі однонаправ-лено пов’язаної активних середовищ.

Для аналізу явища хаотичної синхронізації в розподіленому активному середовищі був запропонований новий метод аналізу фазової синхронізації, заснований на введенні безперервного сімейства фаз хаотичного сигналу за допомогою вейвлетного перетворення [8, 9]. Даний метод заснований на визначенні діапазону масштабів As вейвлетного спектра потужності, для якого виконується умова обмеженості різниці фаз сигналів кожної з підсистем на всьому інтервалі спостереження.

Рис. 1. Вейвлетного спектри E (s) коливань в кожній з пов’язаних систем при А 1 = 4.2, А2 = 4.9 і R = 0.35.

Fig. 1. Wavelet spectra E(s) of oscillations in each coupled system for Ai=4.2, A2=4.9 and R=0.35

На рис. 1 показані характерні вейвлетного спектри потужності коливань електричного поля на виході провідної (штрихова лінія; Д-| = 4.2) і відомої (суцільна лінія; ^ 2 = 4.9) системи. Аналіз показав, що з ростом коефіцієнта зв’язку R в пов’язаної системі спостерігається встановлення режиму хаотичної фазової синхронізації коливань в кожній із систем.

При вищевказаних параметрах активних елек-трон-хвильових середовищ (Д-| = 4.2 і ^ 2 = 4.9) синхронізація виникає при R = 0.28. При цьому спостерігається два діапазони масштабів Sb ~ 1.0 і sm~ 6.0, в яких має місце фазова синхронізація.

На рис. 2 показана залежність величини діапазону масштабів As, в якому спостерігається фазова синхронізація, від параметра зв’язку R, відповідно для малих Sb і великих sm синхронних масшта-

Рис. 2. Залежність діапазону синхронних масштабів As від величини коефіцієнта зв’язку R

бов. З малюнків видно, що зі зростанням коефіцієнта зв’язку в системі спостерігається розширення діапазону масштабів, в яких має місце синхронна динаміка.

Fig. 2 – Synchronous scale range As dependence on coupling parameter R

III. Висновок

У представленій доповіді запропонована нова методика визначення явища хаотичної фазової синхронізації за допомогою введення безперервного безлічі фаз хаотичного сигналу з використанням вейвлетного перетворення. Запропонована методика застосована для аналізу хаотичний синхронізації двох однонаправлено пов’язаних електронно-хвильових середовищ зі зворотним хвилею (двох ЛОВ з поперечним полем). Показано, що в такій системі при певних параметрах зв’язку спостерігається встановлення режиму фазової синхронізації. Вивчено характеристики синхронних хаотичних коливань у досліджуваній пов’язаної системі.

Робота виконана за фінансової підтримки гранту CRDF (REC-006), наукової програми «Університети Росії» і Федеральної цільової програми «Інтеграція» (грант Б0057/2004). А.Є. Храмов дякує Фонд некомерційних програм «Династія» за фінансову підтримку.

IV. Список літератури

[1]PikovskyA. etal. Synchronization. A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press, 2001

[2] Блехман І. І. Синхронізація в природі і техніці. М.: Наука, 1981.

[3] Дмитрієв А. С. та ін Динамічний хаос: нові носії інформації для систем зв’язку. М.: Физматлит, 2002

[4] Pikovsky A., Rosenblum М., Kurths J. Int. J. Bifurcation and Chaos. Vol. 10, No.10. 2000. PP.2291.

[5] Pecora L. М., Carroll T. L., Jonson G. A., Mar D. J. Chaos. 1997. Vol. 7, No. 4. P. 520.

[6] Трубецкой Д. І., Храмов A. E. Лекції з НВЧ електроніці для фізиків. Том 1. М.: Физматлит, 2003.

[7] Кузнецов С. П., Четвериков А. П. Радіотехніка та електроніка. 1978. Т. 23,. No. 2. Р. 385.

[8] Куренівський А. А., Трубецькой Д. І., Храмов А. Е. ДАН. 2004.

[9] Куренівський А. А., Храмов А. Е. Безперервний вейвлет-ний аналіз і його застосування. М.: Физматлит, 2003.

THE STUDY OF CHAOTIC SYNCHRONIZATION OF TWO COUPLED ACTIVE ELECTRON-WAVE MEDIA WITH CUBIC NONLINEARITY

KoronovskiT A. A. and Hramov A. E.

Saratov State University Saratov- 410012, Russia Phone: (8452) 523864 E-mail: aeh@cas.ssu.runnet.ru

Abstract – Chaotic phase synchronization of oscillations in two coupled electron-wave systems with a backward wave and cubic phase nonlinearity (backward wave tube (BWT) with a transverse field) has been studied. The new approach of the analysis of chaotic phase synchronization of distributed systems by means of wavelet transform has been proposed. The physical processes which are responsible for the transition from asynchronous oscillations to phase synchronization regime have also been considered.

I.  Introduction

The investigation of chaotic synchronization is the actual scientific problem [1, 2]. The chaotic synchronization of dynamical systems with small number of freedom degrees has been widely investigated [4, 5], whereas the non-autonomous behavior of distributed active systems has been analyzed not so minutely. This work deals with chaotic synchronization of two coupled electron-wave systems with a backward wave and cubic phase nonlinearity (backward wave tube (BWT) with a transverse field) [7]. The backward-wave oscillator is the simple (but important) microwave system demonstrating both periodic and complex chaotic behaviour [6]. This system is widely used in different applications therefore the analysis of such systems is the most actual problem.

II.  Main part

In our work we have been proposed the new approach to detect the phase synchronization of two unidirectional coupled distributed chaotic systems. This approach is based on the consideration of the instantaneous phase family introduced by means of continuous wavelet transform [8, 9]. Using approach mentioned above it has been shown that the phase synchronization of two coupled chaotic systems takes place whereas the other traditional methods (see, e.g. [4]) fail.

The wavelet power spectra of two coupled systems have been shown on Fig. 1. The solid line corresponds to the slave system, the dashed line – to the master BWT. It has been shown that when the coupling parameter R increases the phase synchronization arises. For the dimensionless length of the interaction space АЛ= А2 (the master system) and A2=4.9 (the slave system) the chaotic oscillations become synchronized at R=0.28. There are two different time scale ranges sb~1.0 and sm~6.0 which are synchronized.

The dependence of the size of the synchronized time scale ranges on the coupling parameter R has been presented on Fig. 2 for the small sb and large sm synchronous time scales, respectively. One can see that the range of the synchronized time scales grows when the coupling parameter increases.

III.  Conclusion

The new approach of chaotic phase synchronization analysis has been proposed in our report. The physical processes which are responsible for the transition from asynchronous oscillations to the phase synchronization regime have also been considered.

This work has been supported by U.S. Civilian Research & Development Foundation for the Independent States of the Former Soviet Union (CRDF), grant REC-006; Scientific Program “Universities of Russia – Fundamental Researches” and Federal Special Program “Integratsiya” (grant B0057/2004). A.H. also acknowledges “Dynasty” Foundation.

Джерело: Матеріали Міжнародної Кримської конференції «СВЧ-техніка і телекомунікаційні технології»