Література: [Л.1], с 50-51

[Л.2], с 65-66

[Л.3], с 24-25

Для вирішення практичних задач радіотехніки вкрай важливо знати значення тривалості і ширини спектра сигналу, а також співвідношення між ними. Знання тривалості сигналу дозволяє вирішувати завдання ефективного використання часу, що надається для передачі повідомлень, а знання ширини спектра – ефективного використання діапазону радіочастот.

Вирішення зазначених завдань потребує строгого визначення понять «ефективна тривалість» і «ефективна ширина спектру». На практиці існує велике число підходів до визначення тривалості. У тому випадку, коли сигнал обмежений у часі (фінішний сигнал), як це має місце, наприклад, для прямокутного імпульсу, визначення тривалості не зустрічає труднощів. Інакше йде справа, коли теоретично сигнал має нескінченну тривалість, наприклад, експонентний імпульс

 

В цьому випадку в якості ефективної тривалості може бути прийнятий інтервал часу , Протягом якого значення сигналу . При іншому способі в якості вибирають інтервал часу, протягом якого . Те ж саме можна сказати і щодо визначення ефективної ширини спектра .

Хоча в подальшому, деякі з цих способів будуть використовуватися при аналізі радіотехнічних сигналів і ланцюгів, слід зазначити, що вибір способу істотно залежить від форми сигналу і структури спектра. Так для експоненціального імпульсу більш кращий перший із зазначених способів, а для сигналу колоколообразной форми – другий спосіб.

Більш універсальним є підхід, що використовує енергетичні критерії. При такому підході в якості ефективної тривалості і ефективної ширини спектра розглядаються відповідно інтервал часу і діапазон частот, у межах яких зосереджена переважна частина енергії сигналу

,                               (2.52)

,                         (2.53)

де – Коефіцієнт, що показує, яка частина енергії зосереджена в інтервалах або . Зазвичай величину вибирають в межах .

Застосуємо критерії (2.52) і (2.53) для визначення тривалості і ширини спектра прямокутного і експоненційного імпульсів. Для прямокутного імпульсу вся енергія зосереджена в інтервалі часу або , Тому його тривалість . Що стосується ефективної ширини спектра, то встановлено, що понад 90% енергії імпульсу зосереджено в межах першого пелюстки спектру. Якщо розглядати односторонній (фізичний) спектр імпульсу, то ширина першого пелюстки спектру становить в кругових частотах або в циклічних частотах. Звідси випливає, що ефективна ширина спектру прямокутного імпульсу дорівнює

або.

Перейдемо до визначення і експоненціального імпульсу. Повна енергія імпульсу становить

.

Скориставшись (2.52), отримаємо

.

Обчисливши інтеграл у лівій частині рівняння і вирішивши його, можна прийти до наступного результату

.

Спектр експоненціального імпульсу знайдемо, скориставшись перетворенням Фур’є

,

звідки слід

.

Підставляючи цей вираз в (2.53) і вирішуючи рівняння, отримаємо

.

Знайдемо твір ефективної тривалості на ефективну ширину спектра. Для прямокутного імпульсу цей твір становить

,

або для циклічних частот

.

Для експоненціального імпульсу

.

Таким чином, твір ефективної тривалості на ефективну ширину спектра одиночного сигналу є постійна величина, що залежить тільки від форми сигналу і величини коефіцієнта . Це означає, що при зменшенні тривалості сигналу його спектр розширюється і навпаки. Цей факт уже відзначався пі розгляді властивості (2.46) перетворення Фур’є. На практиці це означає, що неможливо сформувати короткий сигнал, що володіє вузьким спектром, що є проявом фізичної принципу невизначеності.

Джерело: Медіченко М.П., ​​Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.