Література: [Л.1], с 23-29

[Л.2], с 30-32

У сучасній теорії радіотехнічних сигналів широке застосування знаходять геометричні подання сигналів, які використовують такі поняття як простір, вектор, відстань, проекція і т.д. Тому, для з’ясування суті геометричного подання необхідно познайомитися з цими поняттями.

Як уже підкреслювалося вище, для передачі повідомлень в РТІС використовується безліч сигналів

Т.к. імпульси не перекриваються у часі (проекція одного імпульсу на інший по осі часу дорівнює нулю), то сукупність двох імпульсів, що відображають сигнал , Можна представити крапкою в двовимірної системі координат, утвореної взаємно перпендикулярних векторами і (Рис.1.9). Відрізок прямої, проведений з початку системи координат в точку з координатами і являє собою вектор сигналу при його даному динамічному поданні. Тоді математично його можна записати у вигляді

.

Якщо уявити трьома імпульсами, то сигнал буде відображатися вектором в тривимірному просторі, чотирма імпульсами-вектором в чотиривимірному просторі, n імпульсами-вектором в n-мірному просторі. Таким чином, в загальному випадку сигнал відображається вектором в абстрактному n-мірному просторі. При цьому простір може бути безконечномірним.

Відзначимо, що сукупність векторів утворюють координатний базис простору. Очевидно, зі зміною значень сигналу в часі довжина вектора і його положення в просторі буде також змінюватися.

Для подальшого розгляду геометричного подання зафіксуємо момент часу , Тобто зробимо як би фотографічний знімок простору. Це дозволить на час абстрагуватися від динаміки зміни сигналу і розглянути властивості простору, використовуваного для геометричного подання. Крім того, при характеристиці простору будемо використовувати його n-мірну модель, а для графічних ілюстрацій – двовимірне простір.

Виходячи з цих припущень, вектор сигналу можна записати наступним чином

.          (1.20)

У теорії радіотехнічних сигналів простір для геометричного подання повинно бути лінійним.

Лінійне простір володіє такими основними властивостями:

– якщо вектори і належать простору , То і вектор також належить цьому простору, причому (рис.1.10)

;                                  (1.21)

                    

Рис. 1.10

– визначена операція множення вектора на будь-дійсне число , Причому

;                       (1.22)

– простір містить нульовий елемент , Причому

.                                      (1.23)

Оскільки при аналізі сигналів, як правило, користуються кількісними характеристиками, простір геометричного подання повинно дозволяти визначати довжину векторів для їх порівняння. Довжину вектора називають нормою , А простір, в якому визначена норма – нормованим простором. Основними властивостями лінійного нормованого простору є:

– для будь-якого дійсного числа норма

;                                      (1.24)

– якщо і– Два вектора, що належать лінійному нормованому просторі, то:

.                                (1.25)

Властивість (1.25) відображає так зване правило трикутника, відоме з курсу геометрії, у справедливості якого можна переконатися з рис.1.10.

В якості норми в теорії радіотехнічних сигналів використовують величину

  .             (1.26)

Очевидно квадрат норми

          , Являє собою енергію сигналу.

Введення поняття норми дозволяє визначати довжину векторів, що представляють сигнали в лінійному нормованому просторі, але не дозволяє визначати відстань між векторами. Для того щоб це стало можливим необхідно ввести поняття відстані між векторами і , Тобто величину , Звану метрикою. Тоді лінійне нормоване простір стає метричним. Метрика простору повинна відповідати умовам:

– відстань між однаковими векторами дорівнює нулю, тобто

;                                         (1.27)

– відстань між векторами і, Повинно бути дорівнює відстані між і , Тобто

                                 (1.28)

– повинно виконуватися правило трикутника, тобто

.                           (1.29)

У теорії радіотехнічних сигналів в якості метрики використовують норму різниці двох сигналів

.                                   (1.30)

Неважко переконатися, що величина (1.30) задовольняє всім аксіомам метричного простору.

І, нарешті, взаємне розташування двох векторів просторі оцінюється величиною кута між ними, що визначається виразом

,                                      (1.31)

де чисельник є скалярний твір векторів.

Таким чином, для геометричного подання сигналів у радіотехніці використовується лінійне метричний нормоване простір. Якщо простір конечномерное (координатний базис містить кінцеве число векторів ), То такий простір називають евклідовим. Безконечномірні простір називається Гільбертовим простором.

Джерело: Медіченко М.П., ​​Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.