Література: [Л.1], с 43-48

[Л.2], с 49-54

[Л.3], с 17-20

Розглянутий вище гармонійний аналіз періодичних сигналів можна узагальнити і на неперіодичні (одиночні) сигнали. Повернемося до періодичного сигналу довільної форми (рис. 2.6, а).

Рис. 2.6

Збільшимо значення

Рис. 2.7

Порівняння спектральних діаграм рис. 2.4 і рис. 2.7, б показує, що форми огинаючої лінійного і суцільного спектрів збігаються, що підтверджує зроблені раніше висновки. При цьому як обвідна лінійного, так і огинає суцільного спектрів досягають нульового значення на частотах ω = 2lπ/τ, Де . При значення спектральної функції дорівнює площі імпульсу.

Перейдемо до розгляду основних властивостей перетворення Фур’є. Для стислості запису пару перетворень (пряме і зворотне) символічно будемо представляти наступним чином:

1. Лінійність перетворення Фур’є

,           (2.43)

де і – Довільні числові коефіцієнти.

Доказ формули (2.43) не викликає ускладнень, для цього достатньо підставити суму у вираз (2.27).

2. Властивість тимчасового зсуву (теорема запізнювання)

.                         (2.44)

Т.к. , То (2.44) можна представити у вигляді

.                       (2.45)

Таким чином затримка сигналу в часі на величину призводить до зміни його фазового спектра на .

3. Зміна масштабу часу

.                              (2.46)

Залежно від величини має місце або стиск , Або розтягсигналу в часі. З (2.46) випливає, що при стисненні сигналу в часі в раз відбувається розширення його спектру в стільки ж разів. І навпаки.

4. Операція диференціювання

                            .                         2.47)

При диференціюванні сигналу все гармонійні складові його спектра змінюють початкову фазу на .

5. Операція інтегрування

.                     (2.48)

При інтегруванні сигналу все гармонійні складові його спектра змінюють початкову фазу на . Властивість (2.48) справедливо, якщо

.

6. Якщо, То

.                 (2.49)

Інтеграл у правій частині виразу (2.49) називається сверткой. Таким чином, перетворення Фур’є твори сигналів являє собою згортку (з коефіцієнтом ) Їх спектрів. В окремому випадку при і рівність двох сигналів можна отримати наступне співвідношення:

,            (2.50)

яке являє собою інтегральну форму рівності Парсеваля (2.22). З цього співвідношення випливає, що повна енергія неперіодичного сигналу дорівнює сумі енергій всіх його спектральних складових. При цьому залежність

,                            (2.51)

являє собою спектральну щільність енергії або енергетичний спектр одиночного сигналу.

Джерело: Медіченко М.П., ​​Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.