Література: [Л.1], с 77-83

[Л.2], с 22-26

[Л.3], с 39-43

У багатьох радіотехнічних задачах часто виникає необхідність порівняння сигналу і його копії, зрушеної на деякий час

При знятті АКФ на один з входів перемножителя надходить сигнал , А на другий – цей же сигнал, але затриманий на час . Сигнал, пропорційний добутку , Піддається операції інтегрування. На виході інтегратора формується напруга, пропорційне значенню АКФ при фіксованому . Змінюючи час затримки, можна побудувати АКФ сигналу.

Для експериментального побудови ВКФ сигнал подається на один з входів перемножителя, а сигнал – На пристрій затримки (вхідні ланцюги показані пунктиром). В іншому, пристрій працює аналогічним чином. Зазначимо, що описане пристрій називається коррелятором і широко використовується в різних радіотехнічних системах для прийому і обробки сигналів.

До сих пір ми проводили кореляційний аналіз неперіодичних сигналів, що володіють кінцевої енергією. Разом з тим, необхідність подібного аналізу часто виникає і для періодичних сигналів, які теоретично володіють нескінченною енергією, але кінцевою середньою потужністю. В цьому випадку АКФ і ВКФ обчислюються усередненням по періоду і мають сенс середньої потужності (власної або взаємної відповідно). Таким чином, АКФ періодичного сигналу:

,                       (2.66)

а взаємна кореляційна функція двох періодичних сигналів з кратними періодами:

,                        (2.67)

де – Найбільше значення періоду.

Знайдемо автокореляційної функцію гармонійного сигналу

,

де – Кругова частота, – Початкова фаза.

Підставляючи цей вираз в (2.66) і обчислюючи інтеграл з використанням відомого тригонометричного співвідношення:

,

отримаємо:

.

З розглянутого прикладу можна зробити наступні висновки, справедливі для будь-якого періодичного сигналу.

1. АКФ періодичного сигналу є періодичною функцією з тим же періодом.

2. АКФ періодичного сигналу є парною функцією аргумента .

3. При значення являє собою середню потужність, яка виділяється на опорі в 1 Ом і має розміреність .

4. АКФ періодичного сигналу не містить інформації про початковій фазі сигналу.

Слід також зазначити, що інтервал кореляції періодичного сигналу .

А тепер обчислимо взаємну кореляційну функцію двох гармонійних сигналів однакової частоти, але відрізняються амплітудами і початковими фазами

і.

Скориставшись (2.67) і проводячи нескладні обчислення, отримаємо

,

де – Різниця початкових фаз сигналів і .

Таким чином, взаємна кореляційна функція двох розглянутих сигналів містить інформацію про різниці початкових фаз. Це важлива властивість широко використовується при побудові різних радіотехнічних пристроїв, зокрема, пристроїв синхронізації деяких систем радіоавтоматики та інших.

На закінчення встановимо зв’язок між АКФ неперіодичного сигналу і його енергетичним спектром, визначення якого [см. (2.51)] було дано вище. Для цього скористаємося (2.49) при . Тоді отримаємо співвідношення

,     (2.68)

де – Функція, комплексно сполучена з .

Покладемо тепер і . Відповідно до (2.45) перетворення Фур’є має вигляд

.

З іншого боку

.

Підставляючи ці вирази в (2.68), отримаємо

.

Але у відповідність з (2.51) є енергетичний спектр. Тоді остаточно

.                      (2.69)

Застосовуючи до пряме перетворення Фур’є, приходимо до співвідношення

.                            (2.70)

Таким чином, АКФ та енергетичний спектр сигналу пов’язані парою перетворень Фур’є.

Оскільки і – Речові і парні функції, вирази (2.69) і (2.70) можна записати відповідно у вигляді

,                           (2.71)

.                           (2.72)

Розглянутий кореляційно-спектральний аналіз дозволяє дати ще одну трактування ефективної ширини спектра. Якщо відомий енергетичний спектр, то ефективна ширина спектру визначається так:

.          (2.73)

Іншими словами являє собою сторону прямокутника за площею рівного площі під кривою одностороннього спектра, друга сторона якого дорівнює (Рис.2.13). Очевидно, твір ефективної ширини енергетичного спектра на величину інтервалу кореляції є незмінною

                                      .

Таким чином, і в цьому випадку ми стикаємося з проявом принципу невизначеності: чим більше інтервал кореляції, тим менше ширина енергетичного спектра, і навпаки.

Контрольні запитання до розділу 2

 

1. Що таке система базисних тригонометричних функцій?

2. Як можна записати тригонометричний ряд Фур’є?

3. Дайте визначення амплітудного і фазового спектра періодичного сигналу.

4. Який характер носить спектр послідовності прямокутних імпульсів?

5. Чим відрізняється спектр одиночного імпульсу від спектра періодичної послідовності імпульсів?

6. Запишіть пряме і зворотне перетворення Фур’є.

7. Як знайти ефективну тривалість і ефективну ширину спектра прямокутного сигналу?

8. Що являє собою спектр сигналу у вигляді дельта-функції?

9. Дайте визначення автокореляційної функції детермінованого сигналу.

10. Що таке взаємна кореляційна функція двох сигналів?

11. Як знайти коефіцієнт взаємної кореляції?

12. Якими властивостями володіє автокореляційна функція періодичного сигналу?

Джерело: Медіченко М.П., ​​Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.