6.1. Загальна задача проходження випадкового процесу через лінійні радіотехнічні ланцюга

Література: [Л.1], стр. 253-256

[Л.2], стр. 445-448

[Л.3], стр. 121-123

У загальному вигляді задача вивчення проходження випадкових сигналів через лінійні кола полягає у визначенні закону розподілу (функції розподілу або щільності ймовірності) процесу на виході ланцюга при відомих законі розподілу вхідного випадкового процесу і характеристик ланцюга. Як правило, рішення задачі в загальному вигляді наштовхується на суттєві труднощі. Тому, звичайно зазначену задачу зводять до визначення імовірнісних характеристик (математичного очікування, дисперсії, автокореляційної функції) вихідного випадкового процесу. Пояснюється це тим, що для практики побудови та аналізу радіотехнічних пристроїв цілком достатньо знання цих характеристик.

Найбільш ефективним методом вирішення завдання проходження випадкового процесу через лінійні ланцюги є спектральний метод. Нагадаємо, що спектральний метод грунтується на поданні сигналу в частотній області та знанні комплексного коефіцієнта передачі ланцюга. Але якщо спектральний склад детермінованого сигналу визначається сукупністю комплексних амплітуд, то спектральний склад випадкового сигналу визначається сукупністю значень потужності складових спектра, розподілених в діапазоні частот. У цьому полягає особливість використання спектрального методу при аналізі перетворення випадкового сигналу лінійної ланцюгом.

Загальна задача аналізу проходження випадкового процесу через лінійну ланцюг формулюється таким чином. На вхід лінійної ланцюга (рис. 6.1) з комплексним коефіцієнтом передачі надходить випадковий процес , Енергетичний спектр якого (спектральна щільність потужності) дорівнює . Необхідно знайти характеристики випадкового процесу на виході лінійної ланцюга.

Введемо наступні припущення:

– вхідний випадковий процес є стаціонарним у широкому розумінні;

– середнє значення вхідного СП дорівнює нулю, тобто ;

– відомий енергетичний спектр вхідного процесу.

Відповідно до загальним визначенням спектральної щільності потужності ця характеристика для вихідного СП буде дорівнює

.                                    (6.1)

Величину можна представити таким чином

,                              (6.2)

де – Спектр реалізації випадкового процесу досить великий (теоретично нескінченної) тривалості . З іншого боку, в припущенні того, що реалізація відома можна записати

,                               (6.3)

                           .

Підстановка (6.3) в (6.2) дає

.        (6.4)

У свою чергу, підставляючи (6.4) в (6.1), отримаємо

.                       (6.5)

Таким чином, енергетичний спектр випадкового процесу на виході лінійної ланцюга дорівнює добутку енергетичного спектру вхідного випадкового процесу і квадрата амплітудно-частотної характеристики ланцюга.

Вираз (6.5) визначає закон перетворення СП лінійної ланцюгом. Зазначимо, що фазо-частотна характеристика ланцюга не робить ніякого впливу на цей закон.

Автокореляційна функція вихідного СП визначається відповідно до теореми Вінера-Хінчина

.     (6.6)

Так як дисперсія (середня потужність) чисельно дорівнює значенню АКФ при , То для вихідного СП можна записати

.                        (6.7)

Якщо вхідний СП має математичне сподівання, відмінне від нуля, то математичне сподівання вихідного СП визначається наступним виразом

.                                       (6.8)

Оскільки для розглянутої задачі (Див. припущення), то математичне сподівання .

Як було зазначено вище, в технічних розрахунках замість використовують енергетичний спектр , Як функцію циклічної частоти. В цьому випадку енергетичний спектр СП на виході лінійної ланцюга визначається виразом

,                                  (6.9)

а автокореляційна функція

.                   (6.10)

Відповідно, дисперсія

.                     (6.11)

Надалі отримані результати будуть використані для вирішення конкретних завдань.

Джерело: Медіченко М.П., ​​Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.