Література: [Л.1], с 29-34

[Л.2], с 32-39

При розгляді геометричного подання сигналів ми зафіксували простір в якийсь момент часу . Знімемо це обмеження і будемо вважати, що кожен вектор координатного базису являє собою функцію часу . Переходячи до функцій часу вираз (1.31) можна переписати наступним чином стосовно для функцій координатного базису і

,                               (1.32)

Але вектора і взаємно перпендикулярних, тобто кут між ними становить =900, А .

Прирівнюючи (1.32) до нуля і враховуючи, що норми і завжди відмінні від нуля, отримаємо:

.                                 (1.33)

Дві функції і , Скалярний твір (1.33) яких дорівнює нулю, називають ортогональними функціями. Таким чином, декартова система координат при геометричному поданні відповідає системі ортогональних функцій . Оскільки за визначенням

,

то система функцій є ортогональної, якщо виконується умова

                     (1.34)

При виконанні умови

                           (1.35)

система функцій називається ортонормованій. Неважко переконатися, що нормування здійснюється діленням кожної функції на її норму. З геометричної точки зору кожна функція ортонормованій системи відповідає одиничному вектору – Орту.

З урахуванням вищевикладеного за умови кінцевої енергії сигналу на інтервалі (0, Тс), тобто

,

вираз (1.20) можна записати наступним чином

.            (1.36)

Вираз (1.36) являє собою розкладання сигналу на складові в системі ортогональних базисних функцій (в ортогональному базисі) і називається узагальненим рядом Фур’є.

Якщо число ортогональних функцій в базисі нескінченно, то узагальнений ряд Фур’є описується наступним виразом

.       (1.37)

Надалі ми будемо користуватися саме таким поданням узагальненого ряду Фур’є.

Для визначення значень помножимо обидві частини (1.37) на і проинтегрируем твір у межах

    (1.38)

В силу ортогональності функцій всі складові в (1.38) будуть рівні нулю крім доданка, в якому індекси функцій збігаються. Тоді вираз (1.38) прийме наступний вид

.

Звідси випливає, що

.                            (1.39)

Окрема функція називається спектральної складової сигналу, а сукупність коефіцієнтів носить назву спектра сигналу в даній системі базисних функцій. Спектр сигналу повністю визначає його властивості.

І, на закінчення, з’ясуємо, як пов’язані між собою енергія сигналу в цілому і його спектральних складових. Для простоти спочатку покладемо, що сигнал представлений лише двома спектральними складовими

.                      (1.40)

Так як енергія сигналу

,                              (1.41)

то, підставляючи (1.40) в (1.41), отримаємо

.

В силу ортогональності і другий доданок дорівнюватиме нулю. Тоді енергію сигналу можна уявити формулами

або

.

Поширюючи отриманий результат на систему ортогональних функцій , Одержимо

,                         (1.42)

Де – Енергія k-тої складової.

Якщо – Система ортонормированном функцій, то (1.42) приймає вигляд:

.                                     (1.43)

Вирази (1.42) або (1.43) є рівність Парсеваля, Яке означає, що енергія сигналу дорівнює сумі енергій всіх спектральних складових. Те ж саме справедливо і для середньої потужності сигналу.

Отже, вирази (1.36) і (1.37) не конкретизують вид функцій . В якості таких функцій в радіотехніці розглядаються тригонометричні функції, функції Уолша, Хаара і ряд інших. Тому перейдемо до розгляду спектрального аналізу сигналів у конкретних базисних системах.

 

 

Контрольні запитання до розділу 1

1. Наведіть структурну схему радіотехнічної інформаційної системи.

2. Які числові характеристики застосовуються для опису моделей сигналів?

3. В чому полягає різниця між відеосигналом і радіосигналом?

4. Сформулюйте принцип динамічного подання сигналу.

5. Якими властивостями володіє дельта-функція?

6. Перерахуйте основні властивості лінійного простору.

7. Що таке координатний базис простору?

8. Які функції називаються ортогональними?

9. Запишіть вираз для узагальненого ряду Фур’є.

10. Дайте визначення спектру сигналу.

11. Як пов’язані між собою енергія сигналу та його спектральні складові?

12. Що являє собою рівність Парсеваля?

 

 

 

 

 

 

Джерело: Медіченко М.П., ​​Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.