Колесов В. В. Інститут радіотехніки й електроніки РАН Мохова 11, корп. 7, Москва К-9, ГСП-9, 125009, Росія Тел.: +7 (095) 2021046; e-mail: kvv@mail.cplire.ru

У таблицях 1 і 2 в круглих дужках вказана кількість циклів однакового періоду.

ФП досліджуваного алгоритму складається з набору циклів різної кратності та довжини і однією особливою ізольованою точки з координатами (М, М, … М). З таблиці 1 видно, що при непарних М всі цикли мають одинарну кратність, точно також як і в ФП базового алгоритму. При цьому явна закономірність між розмірами циклів в ФП зіставляються алгоритмів не проглядається. Розмір найбільшого циклу становить -0,5 від повного числа станів у фазовому просторі m(Nz1+Nz2) .

При парних значеннях М (таблиця 2) цикли в ФП, як правило, короткі і багаторазові, як і у випадку базового алгоритму. Спектри циклів двовимірного алгоритму з параметрами Nz1 і Nz2 не містять циклів парціальних базових алгоритмів з Nz = Nz1 ​​і Nz = Nz2, але мають цикли базового алгоритму з Nz = (Nz1 + Nz2) / 2 з додаванням циклів подвоєного періоду. При цьому основні періоди циклів двовимірного алгоритму відрізняються в ціле число разів від фундаментального періоду в кожній із серій циклів: наприклад, при Nz1 = 4, Nz2 = 3 спектр циклів-31 (фундаментальний період), 62, 93, 186. Такий характер спектра циклів властивий і одномерному алгоритму при парних значеннях М.

З таблиці 1 видно, що розмір циклів найбільшої довжини двовимірного алгоритму майже на два порядки перевищує розмір циклу відповідного одновимірного алгоритму при Nz1 = Nz. Але цей виграш обумовлений не стільки специфічними особливостями двовимірного відображення в порівнянні з одновимірним аналогом, скільки реальним збільшенням розмірності ФП. Співвідношення між довжиною циклу максимального розміру і повним числом станів в ФП залишається колишнім -0.5.

Оцінку статистичних характеристик треба проводити не при малих, а при реальних, тобто відносно великих значеннях параметрів, які відповідають розвиненому хаосу та формування довгих псевдовипадкових послідовностей з хорошими кореляційними властивостями. Тому розрахунки виконані при параметрах М = 255, Nz1 = 16, Nz2 = 11. Показано, що двовимірний алгоритм формує псевдослучайную послідовність з практично рівномірним розподілом ймовірностей р (х) = 1 / М. Для сегмента послідовності з N = 210000 відміну від цього розподілу складає: відносне середнє відміну по модулю ЛРЗр = 0.028 при максимальному ДрМакс = 0.10, середньоквадратичне і = 0.002.

Оцінка кореляційних характеристик формованих послідовностей проводилась на основі аналізу некліпірованних і кліпіровани 100 пар сегментів розміром в 128 і 1024 символу, послідовно генеруються алгоритмом без како-го-небудь відбору, в тому числі і без відбору по збалансованості кодів. Отримано, що рівень викидів авто-і взаімокорреляціонних функцій не перевищував наступних значень: (1.5h-4.8) / Vn для сегментів з N = 128 і (2.5h-4.9) / Vn для сегментів з N = 1024, що узгоджується з відповідним рівнем бічних викидів кореляційних функцій чисто випадкових послідовностей з рівномірним розподілом, так і послідовностей, що генеруються базовим алгоритмом.

Підрахунок блоків з однакових символів на реалізації кліпіровани послідовності з 270000 чисел показав, що ймовірність появи таких блоків повністю підкоряється закону p (k) = 1/2k аж до блоку розміром к = 12 з несуттєвими відмінностями від цього закону для блоків з к = 1 Зн-18 символів. Останні відмінності обумовлені скоріше недостатністю даних для статистичної обробки результатів, ніж властивостями самих алгоритмів.

Оцінка обсягу системи сигналів, які формуються двовимірним і базовим алгоритмами, проводилася добором з сформованої кліпіровани послідовності збалансованих кодів із заданими кореляційними властивостями. Показано, що при однакових довжинах реалізації послідовності число відбираються кодів і швидкість їх відбору близькі для обох зіставляються алгоритмів.

III. Висновок

Проаналізовано структуру фазового простору двовимірного алгоритму. Знайдений спектр періодів циклічних траєкторій в ФП, що розрізняються початковими умовами. Встановлено, що статистичні властивості псевдовипадкових послідовностей, що формуються базовим дискретним алгоритмом і алгоритмом з двовимірним відображенням при порівнянних параметрах близькі. Однак двовимірний алгоритм має підвищену складність, що значно ускладнює його реконструкцію з реалізації сформованої алгоритмом послідовності.

Робота виконана за фінансової підтримки РФФМ, проекти 03-07-90133 та 04-07-90161.

IV. Список літератури

[1] Колесов В. В. Фазовий простір цифрового кодує алгоритму для телекомунікаційних систем. Матеріали 14-ї Міжнародної Кримської конференції “НВЧ-техніка і комунікаційні технології”, (КриМіКо’2004), Севастополь, Україна, вересень 12-17, 2004 р.

THE CHAOTIC ENCODING ALGORITHM ON THE BASIS OF TWO-DIMENSIONAL MAPPING

Kolesov V. V.

Institute of Radioengineering and Electronics RAS,

11  Mokhovaya St., block 7, K-9, GSP-9,

Moscow -125009, Russia

phone: (095) 2021046; e-mail: kvv@mail.cplire.ru

Abstract – A structure of the phase space of discrete encoding algorithm with two-dimensional mapping and delay was investigated. It was shown the sequences formed by such algorithm have statistical attributes satisfying the requirements made to encoding signals for digital telecommunication systems.

I.  Introduction

In contemporary systems of communications and information transmission there are widely used noise-like signals’ systems. For designing such signal’s systems it is necessary to implement of special algorithms.

The purpose of the work is the development of discrete chaotic algorithm Fibonacci-type with delay, the investigation of the phase space structure, increasing of algorithm difficulty for reconstructions.

II.  Main part

As a basic for comparison there was used Fibonacci-type one-dimensional algorithm with delay xn=f(xn-i,… xnNz, Nz, M)

[1]. There was investigated two-dimensional algorithm’s system of equations which had a view:

Xn=fl(Xn-1,… Xn-Nz1, y„-1,… Vn-Nz2> Nz1, Nz2, M) yn=f2(yn-1,… yn-Nz2, Xn-1,… Xn-Nz1, Nz1, Nz2, M)

This system had two parameters of delay (Nz1 and Nz2) and was determined on finite interval of set of integers [1, М]. There were investigated the phase space’s structures of these basic and two-dimensional algorithms in the range of parameters M, Nz1, Nz2: M|Nz1+Nz2> <106-І07 and was carried out the comparison of the one to another. It was shown that on the segments of the sequences formed by these algorithms with length less then the length of cycle’s period they have pseudo-random properties. There had been founded the specters of periods for different initial conditions for the system of equations.

III.  Conclusion

The phase space structure of two-dimensional algorithm was analyzed. The spectrum of periods of cyclic paths in the phase space was found.

It was established that statistical properties of pseudorandom sequences formed by basic discrete one-dimensional algorithm with delay and one’s two-dimensional with delays at compared values of parameters are similar. But two- dimensional algorithm is more difficult for reconstruction on the basis of it’s sequence realization.

Джерело: Матеріали Міжнародної Кримської конференції «СВЧ-техніка і телекомунікаційні технології»