Пасивні частотно-виборчі ланцюга

Опубликовано 05 Jun 2012 в рубриці «Теорія»

Література: [Л.1], стр. [Л.3], стр. 156-157

До пасивних частотно-виборчих ланцюгах відносяться коливальні контури. Найпростіший коливальний контур містить резистор R, індуктивність L і ємність C. Якщо в контурі елементи R, L і C з’єднані послідовно, то такий контур називається послідовним, а якщо з’єднані паралельно – паралельним коливальним контуром.

Ріс.5.6

Один з варіантів послідовного коливального контуру зображений на рис. 5.6. Так само,
як і попередні ланцюга, що розглядається контур можна представити як дільник напруги. Тоді

комплексний коефіцієнт передачі контуру

або з урахуванням того, що , і :

. (5.42)

З цього виразу випливає, що комплексний коефіцієнт передачі має максимум при

, (5.43)

тобто послідовний коливальний контур з сукупності сигналів різних частот виділяє один, який має частоту . Це явище, як відомо, називається резонансом, А частота – резонансної частотою.

Резонансна частота визначається з умови (5.43):

або. (5.44)

Розглянемо основні характеристики послідовного коливального контуру.

Характеристичним опором називається значення опору одного з реактивних елементів (індуктивності або ємності) при резонансної частоті

. (5.45)

Добротністю контура називається відношення характеристичного опору до резистивном

. (5.46)

Пояснимо фізичний зміст добротності. З (5.42) при маємо

Тоді з урахуванням (5.46) можна записати

. (5.47)

Таким чином, добротність показує у скільки разів напруга на індуктивності або ємності (вихідний сигнал) більше, ніж прикладена вхідна напруга. Загасанням контура називається безрозмірна величина, зворотна добротності

Постійна часу контура

, (5.48)

характеризує інерційність контура. Очевидно, чим більше (Чим більше ), Тим повільніше протікають перехідні процеси в контурі.

Повернемося до (5.42) і представимо цей вираз з урахуванням (5.44) у вигляді

Позначаючи

після нескладних перетворень отримаємо

Розглянемо поведінку комплексного коефіцієнта передачі в околиці резонансної частоти, тобто при . Тоді величина :

, (5.49)

де – Абсолютна розладі, являє собою так звану подвоєну відносну расстройку. З урахуванням цього вираз для комплексного коефіцієнта передачі можна представити як функцію подвоєною відносної расстройки в наступному вигляді

. (5.50)

Амплітудно-частотна характеристика

, (5.51)

а фазо-частотна характеристика

. (5.52)

На рис. 5.7 зображені графіки АЧХ і ФЧХ розглянутого коливального контуру в околиці резонансної частоти.

б)

Рис. 5.7

Смугою пропускання контура називається діапазон частот, у межах якого . Очевидно, рівність в цьому виразі відповідає граничним частотам і смуги пропускання. Ці частоти знаходяться в результаті рішення рівняння

. (5.53)

Рішення цього рівняння дає

, ,

або з урахуванням (5.49)

, .

Тоді смуга пропускання контура визначається за формулою

. (5.54)

На закінчення складемо диференціальне рівняння послідовного коливального контуру. Напруга, прикладена до контуру:

, (5.55)

де – Напруга на резисторі, – Напруга на індуктивності, – Напруга на конденсаторі. Але напруга на конденсаторі є вихідним сигналом . З іншого боку напруга на резисторі , А напруга на індуктивності . Струм, що протікає через контур, можна висловити через напругу на конденсаторі

Тоді напруга на індуктивності

і на резисторі

Підстановка цих виразів в (5.55) дає співвідношення

Розділимо обидві частини цього рівняння на . Тоді рівняння приймає вид

, (5.56)

де – Коефіцієнт загасання.

Застосувавши до обох частин рівняння (5.56) перетворення Лапласа, можна отримати вираз для передавальної функції

. (5.57)

Неважко помітити, що заміна в (5.57) на призводить до вираження (5.42).

Паралельний коливальний контур являє собою паралельне з’єднання , і елементів (рис. 5.8). Вхідним сигналом такого контуру є струм , А вихідним – напруга на елементах контура. Відповідно до закону Ома комплексне значення напруги на елементах контура

Звідки випливає, що комплексний коефіцієнт передачі контуру

Ріс.5.8

збігається з комплексним опором .

У свою чергу комплексне опір є величина, зворотна комплексної провідності. При паралельному з’єднанні , і комплексна провідність дорівнює

, (5.58)

або

. (5.59)

Проводячи підсумовування дробів, і обчислюючи зворотне значення суми, отримаємо

. (5.60)

Як і в послідовному контурі, резонанс в паралельному коливальному контурі, як це випливає з (5.60), має місце за умови.

Характеристичне опір контуру описується виразом (5.45). Що стосується добротності , То на відміну від (5.46) для паралельного контуру вона визначається виразом

. (5.61)

Звідси постійна часу контуру

. (5.62)

Вводячи параметр і проводячи аналогічні міркування, як і у випадку послідовного контуру, після нескладних перетворень отримаємо вираз для в околиці резонансної частоти:

. (5.63)

Очевидно, амплітудно-частотна характеристика

, (5.64)

носить такий же характер, як і для послідовного контуру (5.51). Тому графік АЧХ паралельного контуру збігається за формою з кривою рис. 5.7а. Фазо-частотна характеристика має вигляд

. (5.65)

На рис. 5.9 наведено графік ФЧХ паралельного контура. Смуга пропускання і граничні частоти і визначаються аналогічно цим же параметрами послідовного контуру. При складанні диференціального рівняння слід врахувати, що вхідний сигнал – ток