Теорема Вінера-Хінчина
Література: [Л.1], стр. 165-169
[Л.2], стр. 434-436
[Л.3], стр. 102-104
Енергетичний спектр і автокореляційна функція випадкового процесу є невипадковими функціями, пов’язаними між собою. Встановимо цей зв’язок. Розглянемо реалізацію випадкового процесу тривалістю
та її копію
, Зрушену на інтервал часу
. Відомо, що енергетичний спектр та автокореляційна функція детермінованого сигналу пов’язані між собою парою перетворень Фур’є. Тоді з урахуванням вище наведеного припущення про те, що реалізація
та її копія
нам відомі, можна записати
.
Розділимо обидві частини цієї рівності на
, (5.62)
і устремим .
Тоді відповідно до (5.51) ліва частина рівності (5.62) являє собою автокореляційної функцію . Враховуючи (5.59) рівність (5.62) можна представити таким чином
. (5.63)
Але це є зворотне перетворення Фур’є, що зв’язує АКФ випадкового процесу з його енергетичним спектром. Очевидно, якщо існує зворотне перетворення, значить, існує і пряме перетворення Фур’є
, (5.64)
зв’язує енергетичний спектр з АКФ.
Таким чином, АКФ випадкового процесу та його енергетичний спектр пов’язані між собою парою перетворень Фур’є. Вперше цей зв’язок була встановлена радянським математиком А. Хинчин і незалежно від нього американським ученим Н. Вінером. Тому співвідношення (5.63) і (5.64) носять назву теореми Вінера-Хінчина.
Так як автокореляційна функція і енергетичний спектр
є речовими парними функціями, можна відмовитися від комплексної форми запису перетворення Фур’є і перейти до іншої форми
, (5.65)
. (5.66)
З цих виразів слід
, (5.67)
. (5.68)
Але , Звідки
,
що збігається з (5.60).
У випадку, коли енергетичний спектр описується функцією циклічної частоти (5.61), вирази (5.65) – (5.68) набувають вигляду
, (5.69)
. (5.70)
, (5.71)
. (5.72)
Джерело: Медіченко М.П., Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.
Сподобалася стаття? Натисни "+1"! :
Ще статті:
- Імпульсний блок живлення 180Вт (0)
- Стабілізований мережевий перетворювач напруги (0)
- Приймач прямого перетворення на 144 МГц. (0)
- Удосконалено ЕКОНОМІЧНИЙ БЛОК ЖИВЛЕННЯ. (0)
- Перетворювачі напруги для ХАРЧУВАННЯ переносних радіостанцій. (0)
- Багатосмуговий безфільтрової еквалайзер. (0)
- ПРОСТИЙ ПЕРЕТВОРЮВАЧ НАПРУГА-ЧАСТОТА. (0)
Ваш відгук