Література: [Л.1], стр. 165-169

[Л.2], стр. 434-436

[Л.3], стр. 102-104

Енергетичний спектр і автокореляційна функція випадкового процесу є невипадковими функціями, пов’язаними між собою. Встановимо цей зв’язок. Розглянемо реалізацію випадкового процесу тривалістю та її копію , Зрушену на інтервал часу . Відомо, що енергетичний спектр та автокореляційна функція детермінованого сигналу пов’язані між собою парою перетворень Фур’є. Тоді з урахуванням вище наведеного припущення про те, що реалізація та її копія нам відомі, можна записати

.

Розділимо обидві частини цієї рівності на

,          (5.62)

і устремим .

Тоді відповідно до (5.51) ліва частина рівності (5.62) являє собою автокореляційної функцію . Враховуючи (5.59) рівність (5.62) можна представити таким чином

.                       (5.63)

Але це є зворотне перетворення Фур’є, що зв’язує АКФ випадкового процесу з його енергетичним спектром. Очевидно, якщо існує зворотне перетворення, значить, існує і пряме перетворення Фур’є

,                         (5.64)

зв’язує енергетичний спектр з АКФ.

Таким чином, АКФ випадкового процесу та його енергетичний спектр пов’язані між собою парою перетворень Фур’є. Вперше цей зв’язок була встановлена ​​радянським математиком А. Хинчин і незалежно від нього американським ученим Н. Вінером. Тому співвідношення (5.63) і (5.64) носять назву теореми Вінера-Хінчина.

Так як автокореляційна функція і енергетичний спектр є речовими парними функціями, можна відмовитися від комплексної форми запису перетворення Фур’є і перейти до іншої форми

,                      (5.65)

.                      (5.66)

З цих виразів слід

,                             (5.67)

.                               (5.68)

Але , Звідки

,

що збігається з (5.60).

У випадку, коли енергетичний спектр описується функцією циклічної частоти (5.61), вирази (5.65) – (5.68) набувають вигляду

,                     (5.69)

.                     (5.70)

,                             (5.71)

.                              (5.72)

Джерело: Медіченко М.П., ​​Литвинов В.П. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Навчальний посібник. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.