Щоб встановити залежність коефіцієнта дифузії D від температури, можна використовувати рівняння (87) для частоти стрибків атома

f = Zν exp(−Q/kT) Тоді з урахуванням того, що D = fδ2 / 6 вираз для

коефіцієнта дифузії прийме вигляд:

D = (Z/6) νδ2 exp(−Q/kT)                           (814)

Позначаючи νδ2 через D0 і беручи Z  ≈ 6 (що справедливо для кубічних кристалів), отримаємо формулу, що описує температурну

залежність коефіцієнта дифузії,

D = D0 exp(−Q/kT ),                                (815)

де Q – Енергія активації, а D0 – предекспоненціальний множник, часто званий частотним фактором

Обговоримо деякі особливості цього рівняння По-перше, з нього випливає, що коефіцієнт дифузії D експоненціально залежить від температури, якщо переважає один механізм дифузії Численними експериментами встановлено, що така температурна залежність має місце для більшості твердих тіл Крім того, з рівняння (815) випливає, що енергію активації можна визначити графічно або аналітично за знайденими з експерименту значенням D для декількох температур Необхідною умовою коректності використання формули (815) є незалежність значень D0 і Q

82 293

від температури в досліджуваному інтервалі температур Якщо залежність ln D = f(1/T ) Виявляється лінійною (рис 84, крива 1), То необхідну умова виконується Визначивши тангенс кута нахилу прямої, можна знайти енергію активації дифузійного процесу Якщо точки лягають на ламану лінію (рис 84, крива 2), То це означає, що з якихось причин механізми дифузії різні в різних температурних інтервалах і для кожного з них має бути знайдено своє значення енергії активації Точки можуть лягати і на криву лінію (рис 84, крива 3) Це, як правило, відповідає випадку накладення декількох механізмів дифузії, роль кожного з яких істотно залежить від температури Такий випадок вимагає спеціального аналізу, а знайдені для окремих ділянок значення Q являють собою ефективні енергії активації

По-друге, з рівняння (815) випливає, що величина D0 повязана з частотою атомних стрибків (або з частотою коливань решітки

ν ~ 1013 Гц) і величиною стрибка атома домішки Крім того, з рівняння (815) випливає, що в області температур, де дифузія йде з

помітною швидкістю, коефіцієнт D0 повинен бути постійним, не залежати від температури і по порядку величини становити від 10-4 см2 / с до 10-3 см2 / с У ряді випадків експеримент дає близькі значення D0, але частіше вони відрізняються від розрахункових на кілька порядків Причини

цієї невідповідності до кінця не ясні до цих пір, проте існує ряд припущень, за допомогою яких робилися спроби пояснити це розбіжність [41] Наприклад, передбачалося, що на величині D0 може позначитися зміна механізму дифузії в тому чи іншому температурному інтервалі і відповідно зміна величини Q, Тобто поява температурної залежності Q Крім того, існує припущення, що величина D0 може змінюватися зі зміною енергії утворення вакансій З підвищенням температури зменшується енергія утворення вакансій за рахунок збільшення відстані між атомами В результаті Q може спадати з ростом температури в першому наближенні за законом, близькому до лінійного: Q = Q0 − γT , Де Q0 – енергія

активації, екстрапольована до нуля абсолютної температури, а γ –

чисельний коефіцієнт, повязаний з ангармонічності коливань атомів твердого тіла, яка в свою чергу залежить від їх маси Поруч авторів було показано, що елементарний акт дифузії змінює термодинамічний потенціал деякій області кристалічної решітки Тому дифузія супроводжується не тільки зміною енергії системи за рахунок подолання енергетичного барєра, але і зміною ентропії системи Це також веде до зміни предекспоненціальний

Рис 84 Різні випадки залежності ln D =

f(1/T )

го множника у формулі (815) Слід зазначити, що в попередніх розмірковуваннях не враховувалося, що дифундує по вакансіях атом може повертатися у щойно покинуту вакансію Облік цієї ймовірності призводить до необхідності введення в значення D0 кореляційного множника

Джерело: І А Случинський, Основи матеріалознавства і технології напівпровідників, Москва – 2002