Перетворення Фур’є в силовій електроніці

Перетворення Фурє являє собою найбільш широко використовуваний засіб перетворити довільну функцію від часу в набір її частотних складових на площині комплексних чисел Це перетворення може бути застосоване для апериодических функцій для визначення їх спектрів, і в цьому випадку комплексний оператор s може бути замінений на / з:

З метою визначення найбільш цікавих частот може бути використано чисельне інтегрування на комплексній площині

Для ознайомлення з основами поведінки цих інтегралів розглянемо декілька прикладів На Рис 146 (ліворуч) наведено імпульс одиничної площі в тимчасовій області та його спектральний склад в центрі – імпульс такої ж площі, але більшої амплітуди, а праворуч – амплітуда імпульсу нескінченна, проте його площа як і раніше дорівнює одиниці Права картинка особливо цікава тим, що спектр імпульсу з нульовою шириною містить всі частоти з рівними амплітудами

Рис 146 Спектри імпулсовразной ширини, за однаковою пяошрді

У 1822 р французький математікЖ Б Ж Фурє (JBJ Fourier) показав у своїй роботі, присвяченій питанням теплопровідності, що будь-яка періодична функція може бути розкладена на вихідні компоненти, що включають частоту повторення і набір гармонік цієї частоти, причому кожна з гармонік має свою амплітуду і фазу по відношенню до частоти повторення Основні формули, що використовуються при Фурє-перетворенні, такі:

де A () являє собою компоненту постійного струму, а А_п і В_п – Гармоніки основної частоти порядку і, що знаходяться відповідно в фазі і протифазі з нею Функція / (*), таким чином, є сумою цих гармонік і Ло-

У випадках, коли f {x) симетрична щодо тс / 2, т e f {x) на області від л до 2л =-f {x) на області від 0 до л, і відсутня компонента постійного струму, формули Фурє-перетворення спрощуються до:

де n = 1, 3,5, 7 ..

Всі гармоніки є синусоїдами, тільки частина з них перебуває у фазі, а частина – в протифазі з основною частотою Більшість форм сигналів, що зустрічаються в силовій електроніці, можуть бути розкладені на гармоніки цим манером

Якщо перетворення Фурє застосувати до прямокутним імпульсам тривалістю 120 °, то гармоніки становитимуть набір порядку k = бі ± 1, де n – одне з цілих чисел Амплітуда кожної гармоніки h по відношенню до першої повязана з її номером співвідношенням h = l / / e При цьому перша гармоніка матиме амплітуду, в 11 рази більшу, ніж амплітуда прямокутного сигналу

Перетворення Фурє видає амплітудне значення для кожної гармоніки, але, так як всі вони є синусоїдальними, середньоквадратичне значення вийде просто діленням відповідної амплітуди на корінь з 2 Середньоквадратичне значення складного сигналу являє собою корінь квадратний із суми квадратів середньоквадратичних значень кожної гармоніки, включаючи першу

При роботі з повторюваними імпульсними функціями корисно розглянути робочий цикл Якщо повторювані імпульси на Рис 147 мають середньоквадратичне значення X за час А, то середньоквадратичне значення за час В дорівнюватиме X (A / B)^{1 2} Таким чином, середньоквадратичне значення повторюваних імпульсів пропорційно кореню квадратному із значення робочого циклу Застосувавши цей принцип до прямокутним імпульсамдлітельностью 120 ° (робочий цикл 2/3) з одиничною амплітудою, отримаємо середньоквадратичне значення (2/3)^1/2 = 08165

Рис 147 Визначення середньоквадратичного значення (RMS) для повторюваних

імпульсів

Цікаво перевірити цей результат шляхом підсумовування гармонік, відповідних згаданої послідовності прямокутних імпульсів У Табл 142 наведені результати цього підсумовування Як видно, всі збігається

Таблиця 142 Результати підсумовування гармонік, відповідних

періодичному сигналу з робочим циклом 2/3 і одиничною амплітудою

Для цілей порівняння можна згрупувати будь-який набір гармонік і визначити відповідний загальний рівень гармонійних спотворень Середньоквадратичне значення сигналу при цьому визначається за формулою

де h \ – амплітуда першої (основної) гармоніки, а h – амплітуда гармонік порядку n> 1

Компоненти, відповідальні за спотворення, можуть бути записані окремо як

де n> 1 Тоді

де Fund – перша гармоніка, а коефіцієнт нелінійних спотворень {THD) вийде рівним D / Fund

Хоча аналіз прямокутної послідовності імпульсів вельми цікавий, він рідко застосовується в реальному світі Комутаційні ефекти і інші процеси роблять прямокутні імпульси більше схожими на трапецеїдальні, або, у випадку з перетворювачами, з переднім фронтом, описуваних вираженням 1 cos (0) і заднім фронтом, описуваних залежністю cos (0), де 0 < 0 2) Замість (1Д) при більш низьких частотах При відображенні залежності цих амплітуд від частоти на папері з подвійним

логарифмическим масштабом нахил відповідних ділянок цього графіка становить -2 і-1Для систем з типовими значеннями реактанс зміна нахилу приблизно припадає на частоти від 11-ї до 35-ї гармоніки мережевої частоти, причому при збільшенні реактанс або струму в системі частота зміни нахилу знижується Практичний результат від усього цього полягає в меншій значущості вищих гармонік, ніж можна подумати

Хоча збільшення реактанс сприяє зменшенню гармонік вищих порядків, зазвичай це не здійснимо Більш кращим для зменшення гармонійних складових в споживаної струмі є збільшення числа імпульсів при випрямленні або перетворенні напруги, що досягається зрушенням фаз Стосовно до трансформаторів ця тема була порушена в гол 7 Якщо тиристорний перетворювач або випрямляч живиться від обмоток трансформатора, зєднаних зіркою і трикутником, а виходи перетворювача або випрямляча зєднані послідовно або паралельно, то виходить 12-пульсаційне випрямлення Номери гармонік в наборі тепер виходять k = \ 2n ± 1 взамін k = 6и + 1, де n – одне з цілих чисел Взаємини гармонік 5-го і 7-го порядкатеперь зявляються гармоніки 11-го і 13-го порядків, амплітуда яких істотно менше Цілком можливо застосування ще більшого числа пульсацій, і, наприклад, у великих джерелах живлення для електрохімічних установок використовуються 48-пульсаційні системи Так як у великих випрямлячах і перетворювачах використовуються набори зєднаних паралельно діодів або тиристорів, додаткова вартість фазосдвигающих обмоток в трансформаторі в основному визначає і його ціну На Рис 148 показано переваги 12-пульсационной схеми перед 6-пульсационной Гармоніки 11-го і 13-го порядку в 12-пульсационной схемою мають типове значення амплітуди, рівне приблизно 10% від першої гармоніки У схемах з великим числом пульсацій гармоніки мають порядок k = pn + 1, де p – число пульсацій

Для інтересу відзначимо, що пари наборів гармонік, які просто зрушені один щодо одного на 30 °, що не взаимоуничтожаются в 6пульсаціонной схемою Токи цих гармонік проникають назад через трансформатор таким чином, потрібно додатковий зсув фаз для отримання можливості їх взаємного знищення

Не всі гармоніки знаходяться у фазі з першою Наприклад, в трифазному наборі гармонік, відповідному послідовності прямокутних імпульсів 120 °, фази гармонік змінюються у відповідності з послідовністю -5-я, +7- я,-11-я, +13- я і тд При розбалансування в трифазного ланцюга можуть виникати однофазні компоненти, що тягне за собою утраіваніе гармонік з нульовим фазовим зрушенням

Рис 148 Спектри 6и 12-пульсаціоіних перетворювачів

Ізолюючі трансформатори часто розглядаються як панацея від проблем з гармоніками Ці трансформатори додають деякий реактанс в систему і тим самим сприяють зниженню рівня вищих гармонік, однак, крім придушення струмів нульової послідовності і електростатичної розвязки, пуття від них небагато

Джерело: Сукер К Силова електроніка Керівництво розробника – М: Видавничий дім «Додека-ХХI, 2008 – 252 c: Ил (Серія «Силова електроніка»)