Протягом тривалого часу явища, повязані з біжать хвилями, були сферою інтересу тільки інженерів, що працювали в області телекомунікацій і передачі електроенергії на великі відстані Однак з розвитком техніки управління електродвигунами з використанням широтно-імпульсної модуляції (ШІМ), а також зі збільшенням робочих частот цієї модуляції навіть у колах електродвигунів стали проявлятися ефекти стоячих хвиль Розуміння явищ, повязаних з біжать хвилями в передавальних лініях, стало необхідним, наприклад, для захисту електродвигунів, харчування яких здійснюється через довгу кабельну лінію і (або) на високій частоті Якщо говорити сучасними термінами, передавальна лінія – це набір декількох паралельних або коаксіальних провідників кінцевої довжини, будь то провідники на друкованій платі або многомільное лінія електропередачі

Основи

Поява стоячих хвиль спостерігається в тих випадках, коли фізична протяжність передавальної лінії порівнянна з довжиною електричної хвилі в ній У свою чергу довжина хвилі залежить від частоти її збудження Утворюються стоячі хвилі внаслідок інтерференції між падаючими на навантаження і відбитими від неї хвилями Поведінка хвиль в лінії може бути визначено рішенням системи диференціальних рівнянь, в які входять параметри лінії і частота її збудження Рішення цих рівнянь з урахуванням втрат вельми складно і мало дає з практичної точки зору, тому ми обмежимося аналізом ліній без втрат

Нехай в лінії без втрат L – послідовна індуктивність на одиницю довжини, а С – паралельна ємність на одиницю довжини Тоді індуктивність якогось відрізка лінії буде Ldx, а напруга на цьому відрізку e =-Ldx (di / dt) Це ж напруга можна виразити у вигляді e = (de / dx) dx, і тоді можна записати (de / dx) dx =-Ldx (di / dt) Аналогічно (di / dx) dx =-C (de / dt) dx Розділивши ці рівняння на dx і підставивши приватні похідні, ми отримаємо фундаментальні рівняння передавальної лінії:

-де/дх = L (8i/8t) і -di/8x = C (de / dt)

Диференціюючи їх за x, а потім по t, ми отримаємо окремі диференціальні еліптичні рівняння другого порядку для e і i як функції від t і x Їх класична форма:

LCd2i/dt2 — 82i/8x2 = 0 і LCd2e/dtl – Д2е / дх2 = 0

Ці рівняння можуть бути вирішені шляхом перетворення або класичним методом Їх рішення виходять у формі гіперболічних функцій на комплексній площині і до розвитку компютерної техніки були єдиним практичним засобом аналізу передавальних ліній На щастя, компютери дозволяють використовувати числові методи аналізу, і при цьому навіть втрати можуть бути враховані порівняно легко Із застосуванням інтеграції по Ейлера процес вирішення диференціальних рівнянь зараз не такий страшний, як раніше

На Рис 61 наведені різницеві рівняння для окремих ділянок передавальної лінії Ці рівняння при вирішенні їх чисельними методами дозволяють отримати значення напруг і струмів в лінії як функції відстані і часу Хоча відразу це і неочевидно, ці рівняння в межі повторюють диференціальні рівняння, які ми розглянули вище

Рис 61 Різницеві рівняння для отделнихучастков передавальної лінії

Перед розглядом типових рішень дамо визначення декільком часто зустрічається параметрами передавальних ліній По-перше, це характеристичний опір, яке визначається як Z0 = (L/C)i/2, І, подруге, швидкість поширення v = l / (iC)172 Характеристичний опір визначає звязок між лінією і приєднаної до неї навантаженням, а швидкість поширення визначає в кінцевому рахунку електричну довжину передавальної лінії Електрична довжина лінії, в термінах довжини хвилі для даної частоти збудження лінії, визначається співвідношенням Xf/Xe = V / c, де Хр – Довжина хвилі в лінії, а Хе – Довжина хвилі, порушуємо на даній частоті у відкритому просторі, v – швидкість поширення в лінії і с – швидкість світла Ці параметри змінюються в широкому діапазоні для великого числа типів передавальних ліній і кабелів, використовуваних в електротехніці Розглянемо ці параметри для двох типів таких ліній

Повітряна лінія електропередачі з відстанню між проводами 6 футів:

Z0 = 325 Ом, v = 83%

Екранований коаксіальний кабель на 15 кВ, з центральним провідником площею перетину 500 kcm:

Z0 = 21 Ом, v = 29%

(Швидкості поширення показані у відсотках від швидкості світла, рівної 3108м / с)

Повітряна лінія електропередачі має високе значення послідовної індуктивності і порівняно низьке значення ємності, так що характеристичний опір виявляється досить великим У цій лінії швидкість поширення порівняно велика, що обумовлено малими значеннями ємностей У кабельній лінії все навпаки Екранований кабель має дуже велику ємність, що робить його характеристичне опір малим, як і швидкість розповсюдження Відзначимо, що в кабельній лінії довжина хвилі становить менш ніж одну третину від довжини хвилі на даній частоті у відкритому просторі

Явища, повязані з перехідними процесами

Проблеми, які можуть виникати в колах електродвигунів через біжать хвиль, можуть бути проілюстровані результатами вивчення відгуку лінії на кидок напруги На Рис 62 показаний граничний випадок, коли імпеданс генератора в передавальної лінії прийнятий рівним нулю, а навантаження не приєднана Коефіцієнт відображення RC визначається виразом RC = (ZT Z0)/(ZX + Z0), Де ZT – Імпеданс навантаження, а Z0 – Імпеданс генератора У відсутність навантаження RC = 1

Коли біжить хвиля досягає кінця лінії, виникає відбита хвиля Якщо коефіцієнт відбиття RC має позитивне значення, то відбита хвиля складається з падаючою по амплітуді Якщо коефіцієнт відображення негативний, то відбита хвиля віднімається з падаючої У граничних випадках при розімкнутому ланцюзі навантаження напруга на виході лінії подвоюється, а при короткому замиканні стає рівним нулю При етомв обох випадках відбита хвиля рухається в напрямку від кінця лінії до генератора, а падаюча – від генератора до кінця лінії Цей процес показаний на Рис 62 при одиничному значенні стрибка прикладеного до лінії напруги У кожній точці лінії напруга є сумою падаючої і відбитої хвиль

Рис 62 Відображення в передавальної лінії при відсутності навантаження

На приймальному кінці лінії напруга буде змінюватися у відповідності з послідовністю +2, +2, 0, 0, +2 .. до тих пір, поки напруга докладено до передавальному кінця Передавальний кінець лінії відображатиме з переворотом полярності падаючу на нього хвилю, а приймальний – відображати з тієї ж полярністю Хоча в цьому прикладі ми розглядали лінію без втрат, з чистими відображеннями, в екранованих кабелях та інших досить довгих лініях передачі процеси практично ті ж самі

На Рис 63 показано поведінку імпульсів напруги одиничної амплітуди при проходженні їх через передавальну лінію при різній крутизні їх фронтів Відзначимо, що при тривалості фронтів, в десять і більше разів перевищує час поширення по лінії (в даному прикладі 2 мкс), ефект зростання амплітуди напруги через складення падаючих і відбитих імпульсів практично повністю зникає Подібна корекція форми імпульсів напруги може бути виконана за допомогою фільтра нижніх частот на передавальному кінці лінії для захисту обладнання на приймальному кінці лінії

На Рис 64 наведено графік залежності перенапруги на приймальному кінці лінії від відносної тривалості фронтів імпульсів

Теоретично при періодичних сигналах на передавальному кінці лінії не існує обмежень на зростання амплітуди напруги на її приймальному кінці На практиці втрати в лінії обмежують цю напругу, але воно все одно може розігнатися до набагато більших значень, ніж при одиночному імпульсі

Способи зменшення перенапруги

Для зменшення кидків напруги на навантаженні слід зменшувати крутизну фронтів імпульсів на передавальному або приймальному кінцях лінії передачі В принципі можна було б узгодити імпеданс лінії і навантаження, але на практиці це рідко можливо через відсутність інформації про високочастотних характеристиках навантаження Зазвичай обмежуються установкою на вході передавального кінця лінії фільтра нижніх частот або дроселя При використанні дроселя його індуктивність вибирають в 5 разів більше, ніж індуктивність лінії Для виключення проблем, повязаних з резонансними явищами, при розрахунку фільтра нижніх частот корисно провести компютерне моделювання ланцюга і процесів у ній

Рис 63 Вплив тривалості фронтів імпульсів з виходу генератора на форму напруги на приймальному кінці лінії, що складається з екранованого кабелю 500 2/0 15 кВ

Рис 64 Залежність перенапруги на приймальному кінці лінії від відносної тривалості фронтів імпульсів

Якщо висновки електродвигуна, що використовується як навантаження, доступні, то корисно буває зашунтувати їх конденсатором, переважною кидки напруги Однак для виключення резонансних явищ може знадобитися послідовно з конденсатором включити резистор, і знову стане в нагоді компютерне моделювання

Джерело: Сукер К Силова електроніка Керівництво розробника – М: Видавничий дім «Додека-ХХI, 2008 – 252 c: Ил (Серія «Силова електроніка»)