Анотація – У роботі розглянуто застосування вейвлетів для підвищення ефективності вирішення інтегральних рівнянь, що описують задачу випромінювання На прикладах розрахунків дротяних антен з фрактальної структурою показана доцільність застосування таких базисних функцій Проведена оцінка точності отриманих результатів

I                                       Введення

Завдання випромінювання електромагнітних хвиль може бути зведена до інтегрального рівняння виду:

Романенко С Н, Карпуков Л М, пулів Р Д Запорізький національний технічний університет вул Жуковського, 64, Запоріжжя, 69063, Україна Тел: 8 (0612) 643281, e-mail: sergeyr@pisemnet

де g (х) – відома функція, f (х) – невідома функція, К (х, х ) – відоме ядро ​​інтегрального рівняння, найчастіше це функція Гріна

Для розвязання рівнянь типу (1) широко використовується метод моментів (ММ), який зводить інтегральне рівняння до системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) Однак зі зростанням розмірності СЛАР час рішення різко зростає і стає неприпустимо великим

Останнім часом для підвищення ефективності вирішення інтегральних рівнянь виду (1) велика увага приділяється питанню застосування вейвлетів і вейвлетного базисних функцій Їх використання дозволяє отримати розріджену матрицю СЛАР, яка може бути вирішена за О (N logN) операцій, де N – розмірність СЛАР, що є великою перевагою в порівнянні з О (N ^) для щільно заповненою матриці або О (N ^) при вирішенні ітераційними методами

У даній роботі представлено порівняння ефективності вирішення задачі випромінювання звичайним методом і методом на основі вейвлет-перетворення вання Дано рекомендації з доцільності застосування вейвлетів для вирішення розглянутих електродинамічних задач

II                           Постановка завдання

При вирішенні задачі випромінювання використовується сіткова модель металевої поверхні, що випромінює антени Розрахунок електричних струмів в дротяних сегментах моделі здійснюється на основі інтегрального рівняння Поклінгтона для тонких провідників Для диполя довжиною L це рівняння має вигляд [1]:

де G (ζ, ζ ) – функція Гріна для вільного простору, Ez – падаюче або наведене поле, ζ – точка спостереження, ζ – точка джерела

Відповідно до ММ, дискретизація (2), при використанні імпульсного базису для I (ζ) і зшивання по точках, призводить до СЛАР:

Ζ·Ι = ν                                                                (3)

де Ζ – заповнена несиметрична матриця, яку називають матрицею импедансов Елемент Zi_j з фізичного змістом є поздовжньої компонентою електричного поля, наведеного в центрі сегмента i струмом одиничної амплітуди сегмента]

Ефективність вирішення (2) визначається, головним чином, швидкістю вирішення матричного рівняння (3), оскільки його обчислювальна вартість становить О (N ^) операцій для точних методів, в той час як вартість всіх інших обчислювальних процедур, включаючи обчислення елементів Zi_ j, не перевищує О (N ^) Отже, при великій розмірності N матриці Z необхідно використовувати ітераційні процедури

III Вейвлет-перетворення матриці

При вейвлет-перетворенні необхідно отримати набір N ортонормованих векторів, які становлять базис для Ν-мірного векторного простору R ^ Ці вектори повинні володіти двома важливими властивостями По-перше, вони повинні мати різну локалізацію в просторі, забезпечуючи кратномасштабного уявлення полів і струмів в сегментах По-друге, майже всі базисні вектори повинні мати певну кількість р нульових моментів Наявність р нульових моментів означає, що для базисного вектора В виконується співвідношення:

У даній роботі для побудови матриці вейв-років-перетворення W використані добре відомі вейвлети Добеши [2] з р = 8 нульовими моментами Для обчислення цієї матриці була використана програма, наведена в [3]

Приклад вейвлетного базису при N = 512 і р = 8 наведено на рис 1

Рис 1 Вейвлетного базисні вектори

Fig 1 Wavelet reference vectors

Вейвлентие базисні вектори можуть бути побудовані для різних значень Світ Дпя зручності зазвичай використовується N = 2 , а значення р вибирається з діапазону від 8 до 12 [4]

При вейвлет-перетворенні системи (3) ліва і права частини множиться на матрицю вейвлет-перетворення W

W-Z-I = W-V                                                                      (5)

Оскільки вектори, складові матрицю W, є ортонормированного базисом для R ^, то для W виконується співвідношення W = W ^ Тоді рівняння (5) можна записати таким чином:

W-Z-W^-W-I = W-V                                                       (6)

У результаті приходимо до СЛАР:

Zw-Iw=Vw                                           (7)

де Zw = W-Z-W ^, Iw = W-I, Vw = W-V

В роботі [4] показано, що нова матриця Z ^ виявляється досить розрідженій Крім того, багато елементів цієї матриці, якщо вони менше деякого порогового значення τ, можна вважати пренебрежимо малими і їх можна відкинути Все це дозволяє виконувати матричні перемноження за час, пропорційне кількості ненульових елементів і, таким чином, прискорити розрахунок без втрати точності У даній роботі поріг τ визначався таким чином:

I

де

^ J—^

Чисельні експерименти показали, що якщо взяти Те рівним 01, то помилка не перевищить 1% Аналогічні результати отримані в [5]

IV                                 Результати

Описаний метод вейвлет-перетворення був реалізований в системі моделювання дротяних антен для підвищення ефективності вирішення інтегрального рівняння (2) при аналізі складних структур великої розмірності, виникають при моделюванні фракталоподобних антен Досліджувалися фрактальні структури, побудовані на основі кривої фон Кох У таблиці 1 наведено час обчислень в секундах і відносна помилка при вирішенні СЛАР двома методами: методом LU-розкладання (LU), і методом вейвлет-перетворення (WT)

Таблиця 1 Час обчислень і помилка Table 1 Computation time and error

N

WT, з

LU, з

Помилка,%

128

1

1

056

256

6

9

08

512

32

76

017

1024

149

599

085

Як видно, застосування вейвлет-перетворення зменшує час обчислень, якщо розмірність системи N, складеної з комплексних чисел, більше 128

V                                   Висновок

в роботі розглянуто метод вейвлет-перетворення вання матриці СЛАР, отриманої в результаті ал-гебраізаціі інтегрального рівняння (2) Наведено дані про час розрахунку залежно від розмірності задачі, а також одержувані при цьому похибки обчислень Показано, що метод доцільно використовувати при розмірності СЛАР вище 128 Пропонована методика реалізована в системі моделювання дротяних антен і зменшує обчислювальні витрати без помітного зниження точності

VI                           Список літератури

[1] L Tsai, «А numerical solution for the near and far fields of an annular ring of magnetic current,» IEEE Trans Antennas Propagat, Vol AP-20, pp 569-576, May, 1972

[2]  / Daubechies, «Ten Lectures on Wavelets» (CBMS-NSF series in Applied Maths #61), Philadelphia, SIAM, 1992

[3]  \N H Press, S A Teul<oisl<y, W T Vetterling,

B        P Fiannery, «Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, Second Edition,» New York, Cambridge Univ Press, 1992

[4] R L Wagner, \ N C Chew, «А Study of Wavelets for the Solution of Electromagnetic Integral Equations,» iEEE Trans AP, 1995, vol 43, N8, pp 802-810

[5]  B Aipert, G Beyilfin, R Coifman, V Rol<hiin, «Wavelet-like bases for the fast solution of second-kind integral equations,» SiAMJ Sci Comput, vol 14, no 1, pp159-184,

Jan 1993

INCREASING OF WIRE ANTENNAS SIMULATION EFFICIENCY

Romanenko S N, Karpukov L М, Pulov R D

Zaporozhye National Technical University

Zhukovsky str, 64, Zaporozhye, 69063, Ukraine

Ph: 8 (0612) 643281, e-mail: sergeyr@pisemnet

Abstract – Considered in this paper is wavelets application in order to increase the efficiency of integral equations solution Wire antennas with fractal structure have been calculated and the expediency of application of such basis functions is shown The accuracy of the results obtained is estimated

I                                          Introduction

A great number of electromagnetic problems can be posed in the form of integral equation:

The most widely used technique for solving of (1) is MoM that allows finding an approximate solution for the system of linear equations The use of wavelets produces a sparse matrix which may be solved rapidly The solution of linear system can be obtained in О (N logN) operations

II                     Wavelet Transformation Matrix

In order to generate wavelet transformation matrix W the well-known Daubechies wavelets [3] with p=8 vanishing moments are used We used the PC software described in [4]

III                                        Results

Table I presents the computation time in seconds and relative errors appeared during calculations using two methods: LU- decomposition (LU) and wavelet transformation (WT)

IV                                       Conclusion

It is shown, that the method of wavelet transformation is expedient for using at linear system dimension above 128 with complex elements This technique is realized in CAD system for wire antennas simulation It reduces the computation time without sacrifice of accuracy

Джерело: Матеріали Міжнародної Кримської конференції «СВЧ-техніка і телекомунікаційні технології», 2006р