Гайкович К П Інститут фізики мікроструктур РАН м Нижній Новгород, ГСП-105, 603950, Росія Тел: (8312) 385037 факс: (8312) 385553 e-mail: gai@ipmsci-nnovru

Анотація – Запропоновано новий метод томографії неоднорідного півпростору, який може бути реалізований в скануючої зондової мікроскопії та в інших способах електромагнітної діагностики середовищ

I                                       Введення

в роботі розглядається новий метод діагностики тривимірних неоднорідностей діелектричної проникності середовища – метод скануючої томографії На відміну від відомих методів томографії [1,2], де є можливість прийому випромінювання з різних сторін, в цьому методі використовуються вимірювання варіацій електромагнітного випромінювання, прийнятого над середовищем, яка містить область неоднорідностей (над півпростором ζ < 0), при порушенні в цьому середовищі плоскої хвилі. Вперше такий підхід був розвинений в [3] для випадку СВЧ радіометричних і імпедансних вимірювань.

Вимірювання полів або інтенсивності здійснюються методом двовимірного сканування над поверхнею при різних значеннях деякого параметра (наприклад, частоти), від якого залежить ефективна товщина шару середовища, в якому формується прийняте випромінювання Зворотній завдання розсіювання в такій постановці призводить до тривимірного інтегрального рівняння, для вирішення якого в Борновскі наближенні, коли це рівняння являє собою згортку по поперечним координатам, вдалося створити ефективний алгоритм

В алгоритмі використовується той факт, що двовимірне Фурє-перетворення рівняння вихідного рівняння по поперечним координатам призводить до одновимірного інтегрального рівняння Фредгольма 1-го роду відносно глибинних розподілів компонент поперечного спектра Зворотне перетворення Фурє вирішення цього рівняння завершує рішення задачі томографії

II                              Основна частина

Розглянемо область неоднорідного середовища з комплексною діелектричною проникністю

розташовану в півпросторі Ζ < О, де за межами неоднорідною області ε = ε ^ (ω). Для полів ехр (/ ® f) невозмущенное електричне поле ЕДГ) визначається тензором Гріна (з урахуванням бліжнепольного компонент):

де fir) – розподіл струму в джерелі Для віддаленого джерела невозмущенное поле може бути представлено плоскою хвилею (як розповсюджується, так і уповільненою) При наявності неоднорідної області поле Е (г) визначається як

I

де резольвента R визначається розподілом неоднорідностей ЕДГ) і функцією Гріна незбуреної задачі (поруч Неймана) Рівняння (1), (2) вирішують пряму задачу електродинаміки, однак, якщо розглядати співвідношення (2) як вихідне рівняння для вирішення зворотного завдання, то це буде нелінійне інтегральне рівняння, ядро ​​якого є функцією шести вимірювань Чисельне рішення такого завдання представляється досить важким завданням з обчислювальної точки зору

З цієї причини рішення зворотної задачі розсіювання розглядається в Борновскі наближенні

, І розсіяна компонента поля визначається зі співвідношення

Якщо ввести в (3) еквівалентний джерело це співвідношення приводиться до виду

згортки

Двовимірне перетворення Фурє по поперечним координатам призводить (4) до одновимірного інтегрального рівняння щодо глибинного профілю поперечного спектра еквівалентного джерела

У разі, коли невозмущенное поле в середовищі являє собою плоску хвилю

ЕДГ) = ехр (ГКГ), перетворення Фурє рівняння (3) приводить до рівняння для глибинного профілю поперечного спектра неоднорідностей діелектричної проникності:

деЯкщо в середовищі збуджується уповільнена хвиля, тобто = до ^ експонен

та в (6) стає затухаючої і ці хвильові числа можуть використовуватися як параметр, від якого залежить глибина формування вимірюваних варіацій поля Аналогічні співвідношення для магнітного поля можна легко отримати з відповідного рівняння Максвелла

У разі вимірювання двовимірних розподілів варіацій поля над поверхнею середовища, де неоднорідності діелектричної проникності чисто дійсні або чисто уявні (si = £ 1ілі si = – / siуравненія (5), (6) можуть вирішуватися як рівняння Фредгольма 1-го роду методом узагальненої невязки Тихонова [1] аналогічно [3] Єдині параметр методу – інтегральна похибка спектра виміряних варіацій – визначається з теореми План-Шерел за відомою оцінці інтегральної помилки вимірювань

У разі вимірювань варіацій інтенсивності випромінювання над поверхнею середовища, наприклад, методами скануючої бліжнепольного оптичної мікроскопії (СБОМ) [2], коли сигнал (плоска хвиля) проходить через неоднорідну середовище або відбивається від неї, виміряний сигнал може бути представлений як згортка апаратної функції зонда та інтенсивності поля в залежності від положення зонда як

ПопіLO/L·

Річковим спектр сигналу в разі слабкого розсіювання можна тоді уявити співвідношенням

Якщо ЕДГ) = ехр (ГКГ), то маємо інтегральне рівняння виду:

яке для випадків si = £ 1ілі ε = -/si зводиться до рівняння Фредгольма 1-го роду Зворотне перетворення Фурє вирішення цього рівняння, як і вище, реалізує метод скануючої томографії

III                                  Висновок

Результати показують принципову здійсненність методу скануючої бліжнепольного томографії та перспективність застосування методу при вирішенні завдань фізичної діагностики

Робота виконана за підтримки РФФМ (грант № 04-02-16120) та програмами ОФН РАН «Проблеми радіофізики» і «Радіоелектронні методи в дослідженні природних середовищ і людини»

IV                           Список літератури

[1] Тихонов А Н, Арсенін В Я, Тимонов А А Математичні завдання компютерної томографії – М: Наука,

1987 – 158 с

[2] Gaikovich К Р Inverse Problems in Physical Diagnostics – N Y: Nova Science, 2004 – 372 p

[3] Gail

INVERSE PROBLEM OF SCATTERING IN SCANNING NEAR-FIELD TOMOGRAPHY

Gaikovich K P

Institute for Physics of Microstructures RAS GSP-105, Nizhny Novgorod, 603950, Russia Ph: (8312) 385037, fax: (8312) 385553 e-mail: gai@ipmsci-nnovru

Abstract – A new tomography method of the inhomogeneous half-space is proposed that can be realized in the scanning probe microscopy and other kinds of electromagnetic diagnostics of media

I                                         Introduction

In this method the 2D scanning of variations ofthe signal (plane wave) related to inhomogeneities in a medium (half-space z < 0) are in use The scanning should be done at various values of a parameter (frequency or sounding wave direction) that determines the effective depth ofthe formation ofthe received signal

II                                        Main part

If a scattering region is embedded in the half-space z < 0, the reference electric field is determined from (1) and the field for this medium with inhomogeneities – from (2) The kernel of the equation (2) is a 6D function, so it is difficult to use this equation to solve the inverse problem Because of this reason, in problems where scattered fields are in use, the possible consideration can be based on the Born approximation (3) If to rewrite (3) as the integral of the equivalent current source j, one obtains the convolution equation (4)

The 2D Fourier transform ofthe equation (4) over lateral coordinates leads to the one-dimensional integral equation (5) In the case when the reference field in a medium is a plane wave, using the known property of the Fourier transform of a product with an exponent, one has from (3) the spectrum of the scattered field (6) At £-1 = ε-ior ε = -Ιε-ι&quot, equations (5) and (6) are integral Fredholm equations ofthe 1®* kind that can be solved using Tikhonov’s method of generalized discrepancy [1], where the parameter of the integral error of field spectral components is determined from the Plansherel’s theorem by known measurements errors The inverse Fourier transform of this solution gives the solution ofthe scanning tomography problem

If the sounding plane wave field in (6) is an evanescent wave, wave vector components of the sounding field can be also used as the parameter that determines the effective depth ofthe formation ofthe received signal at the solution

In the case when the intensity ofthe signal is measured, for example, in the scanning near-field optical microscopy (SNOM) in the collection mode, when the signal (a plane wave) is transmitted through a medium or scattered from it The received signal is the convolution of the probe apparatus function F and the signal electric field intensity The lateral spectrum of signal variations (8) can be reduced to the Fredholm integral equation ofthe 1® kind if s = sor s = -is&quot and the 2D inverse Fourier transform of this equation solution gives the desired solution of the scanning tomography problem

III                                       Conclusion

Results show the feasibility of this method of scanning tomography method in the solution of some problems of the physical diagnostics

Джерело: Матеріали Міжнародної Кримської конференції «СВЧ-техніка і телекомунікаційні технології», 2006р