Хто з Вас в дитинстві не був у цирку і не спостерігав виступів фокусників, які вражали уяву феноменальними можливостями математичних обчислень і читання думок на відстані

«Задумайте число», звертається до Вас фокусник

«Помножте .., відніміть .., розділіть .., закресліть цифру», подає Вам команди фокусник А потім, дізнавшись результат обчислень і на секунду задумавшись, повідомляє Вам загадане число Як же це йому вдається Трохи подорослішавши, Ви, напевно, зрозуміли, що справа тут не в читанні думок на відстані, а в застосуванні якихось прийомів обчислень, якими користується фокусник Подібних числових фокусів дуже багато Вони описані в літературі по цікавій математиці [21] Роль отгадчику при демонстрації цих фокусів з успіхом можуть виконати електронні автомати Розглянемо деякі з них

На рис 8 зображена передня панель, а на рис 9 принципова схема отгадчику двох чисел Запропонуйте кому-небудь задумати два однозначних числа, одне з яких перевищує інше на одиницю Потім попросіть перемножити два цих числа, з твору відняти менше число, а результат знову помножити на менше із задуманих чисел Після введення оголошеного результату за допомогою трьох перемикачів на 10 положень, розташованих на передній панелі, і установки тумблера «Відповідь» у верхнє положення на цифрових індикаторах висвічуються загадані числа

Рис 8 Передня панель отгадчику двох чисел

Пояснимо алгоритм процесу обчислень Нехай задумані числа К і К +1, де 1 < К <8. Після виконання зазначених математичних операцій матимемо

[К (К +1)-К] ХК = до3

Таким чином, визначення меншого із задуманих чисел зводиться до вилучення кубічного кореня з результату, що саме по собі є складним технічним завданням, доступною далеко не всім калькуляторам Однак з урахуванням властивостей десяткових чисел від 1 до 8 завдання істотно спрощується Дійсно, послідовно зводячи в куб числа від 1 до 8, отримуємо

13= 1,

23= 8,

З3= 27,

43= 64,

53= 125,

63= 216,

73= 343,

83= 512

Неважко бачити, що кожне з отриманих при зведенні в куб чисел закінчується на одну з цифр від 1 до 8 і ніякі два цифри не закінчуються на одну і ту ж цифру Таким чином, по останній цифрі результату математичних перетворень можна визначити задумані числа, користуючись табл 4

Таблиця 4

Остання

цифра

1

2

3

4

5

6

7

8

Задумані

числа

12

8,9

7,8

4,5

5,6

6,7

3,4

2,3

Рис 9 Принципова схема отгадчику двох чисел

Проте, для того, щоб граючий не відчув «каверзи», на передній панелі отгадчику встановлено три перемикача для введення результатів обчислень Два з них є «бутафорськими» і на принциповій схемі не показані

Отгадчику містить шифратор на елементах DD11, DD12, DD21, DD22, що перетворює позиційний код отриманого результату в двійковий код меншого із загаданих чисел К Двійковий код цього числа за допомогою ПЗУ DD3 перетвориться в семисегментний, в результаті чого індикатор HG1 индицирует менше з загаданих чисел Коди програмування ПЗУ DD3 наведено в табл 5

Таблиця 5

Пекло

рес

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А

У

з

D

Е

F

0

FF

F9

80

F8

99

92

82

ВО

А4

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

1

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

Крім того, двійковий код числа До подається на вхід перетворювача коду, реалізованого на ПЗУ DD4 На виході ПЗУ формується семисегментний код числа К +1 відповідно до табл 6

Таблиця 6

Пекло

рес

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А

в

З

D

Е

F

0

FF

А4

90

80

92

82

F8

99

ВО

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

1

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

У результаті на індикаторі HG2 индицируется старше із загаданих чисел

Вводити в отгадчику число слід при нижньому за схемою положенні перемикача SA2 У цьому випадку індикатори HG1 і HG2 погашені Після замикання контактів тумблера «Відповідь» на індикаторах HG1, HG2 висвічуються загадані числа

Другий отгадчику може відгадувати двозначні числа (наприклад, вік граючого) Алгоритм відгадування описаний в [24] і полягає в наступному Задумайте будь двозначне число ХУ і помножте його на 10 Задумайте інше, але тепер однозначне число і помножте його на 90 Із першого твору відніміть друге і результат (у загальному випадку тризначне число mnk) введіть в отгадчику

Відомо, що

при n + k < 10 X = m, Y = n + k,

добавкам + до ^ Ю X = m +1, Y = n + k-10

Можливі кілька варіантів реалізації розглянутого ^ отгадчику

Почнемо з вибору зручного пульта введення даних Можна як пульта використовувати набірне поле з клавішами від 0 до 9, подібне пульту мікрокалькулятора Тоді, по черзі натискаючи три клавіші, можна ввести в отгадчику число mnk По натискання кожної клавіші формується двійковий код відповідної цифри Ці коди треба буде запамятати,

а потім подати на входи АЛП, яке виконає зазначені обчислення Знадобляться ще елементи управління АЛУ, розпорядчі порядок виконання операцій, дешифратори отриманого результату, до виходів яких підключені цифрові індикатори Для реалізації такого пристрою буде потрібно 17 мікросхем [30]

Автомат можна спростити, зменшивши число інформаційних клавіш до τρφχ [37] Правда, введення числа при цьому ускладниться, оскільки на кожну кнопку треба буде натиснути m, n і до раз, відповідно Передня панель такого отгадчику зображена на рис 10, функціональна схема на рис 11 З алгоритму функціонування випливає, що окремо числа пік ніде не використовуються Тому отгадчику містить два лічильника: СІ для підрахунку натискань на кнопку т і СТ2 для підрахунку натискань на кнопки п і до. Обидва лічильника двійковій-десяткові Однак лічильник СТ2 виконує три функції: підраховує суму (n + k) коли п + кгЮ, проводить операцію (п + к) -10 і зберігає результат обчислень Формувачі одиночних імпульсів F1 і F2 служать для захисту від «коливання» контактів кнопок т, п і до. Лічильник СТ1 вважає число натиснень на кнопку т і число переповнень лічильника СТ2

Рис 10 Передня панель отгадчику двозначних чисел

Розглянемо роботу пристрою за функціональною схемою Спочатку тумблер «Відповідь» ставлять в нижнє положення і цифрові індикатори гасяться Потім натискають кнопку «Скидання», та лічильники СТ1 і СТ2 обнуляються Після цього, натискаючи відповідне число раз на кнопки т, п і до, вводять число тпк, отримане в результаті обчислень Форми рователі F1 і F2 формують поодинокі імпульси високого рівня після натискання і відпускання будь-який з кнопок Число імпульсів з виходу формирователей підраховується лічильниками СТ1 і СТ2 Як тільки сумарне число натиснень кнопок п і до стане рівним 10, лічильник СТ2 обнуляється АВТСо / п ^ х ^ ^ юокі ^ видйлняется операція n + k-10 На виході старшого розряду лічильника СТ2 формується негативний перепад напруги, за яким запускається формувач F3 На його виході формується короткий імпульс позитивної полярності, який через елемент АБО подається на вхід лічильника СТ1 в результаті чого при n + k> 10 виконується операція (т +1) Після введення числа mnk тумблер «Відповідь» ставлять у верхнє положення, знімаючи гасіння з блоків індикації, і на цифрових індикаторах висвічується загадане число

Рис 11 Функціональна схема отгадчику двозначних чисел

В [24] наведена схема описаного отгадчику, реалізованого на шести мікросхемах серії ТТЛ Апаратні витрати можна зменшити до чотирьох корпусів при реалізації отгадчику на мікросхемах КМОП Принципова схема отгадчику двозначних чисел зображена на рис 12

Формувачі F1 і F2 виконані на RS-тригерах DD11 і DD12, формувач F3 на диференціюються ланцюга С1, R6 Лічильники СТ1 і СТ2 реалізовані на мікросхемах DD3, DD4, які містять внутрішні перетворювачі двійкового коду в код семисегментний індикатора

Апаратні витрати можна зменшити ще на один корпус, використовуючи для введення даних перемикачі типу ПП10, на виходах яких формуються двійкові коди чисел, що вводяться При цьому забезпечується і велика наочність за рахунок індикації чисел, що вводяться Передня панель такого отгадчику зображена на рис 13, принципова схема на рис 14 Двійкові коди чисел пік подаються на входи суматора DD3, на виході якого формується пятіразрядний двійковий код суми n + k Постійний запамятовуючий пристрій DD2 перетворює код з виходу суматора DD3 таким чином, що при п + до <10 на виходах Q2-Q8 DD2 формується семисегментний код цієї суми, і індикатор HG2 индицирует цифру Y = n + k. У цьому випадку на виході Q1 ПЗУ DD2 формується низький рівень. При п + до £ 10 на виходах Q2-Q8 ПЗУ DD2 формується семисегментний код числа n + k-10, а на виході Q1 високий рівень. Коди програмування ПЗУ D02 наведено в табл. 7.

Таблиця 7

Пекло

рес

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А

У

З

D

Е

F

0

80

F2

48

60

32

24

04

F0

00

20

81

F3

49

61

33

25

1

05

F1

01

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

Рис 14 Принципова схема отгадчику двозначних чисел з використанням ПЗУ

Перетворювач коду ПЗУ DD1 працює таким чином При подачі на вхід 16 низького рівня на виході ПЗУ формується семисегментний код числа т, двійковий код якого поданий з перемикача SA1 на входи 1, 2, 4, 8 DD1 Якщо ж на вхід 16ї DD1 подано високий рівень, то семисегментний код на виході ПЗУ еквівалентний бінарного коду числа т +1 Індикатор HG1 индицирует, таким чином, цифру X Карти програмування цього ПЗУ приведена в табл 8

Таблиця 8

Пекло

рес

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А

У

з

D

Е

F

0

40

79

24

30

19

12

02

78

00

10

FF

FF

FF

FF

FF

FF

1

79

24

30

19

12

02

78

00

10

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

Рис 15 Передня панель отгадчику імен

На рис 15 зображена передня панель, а на рис 16 принципова схема отгадчику імен На передній панелі отгадчику розташовані 16 світлодіодів, поруч з кожним з них написано небудь імя У розміщених нижче чотирьох стовпцях є деякі з цих імен

Автомат працює таким чином

Задумайте одне з

імен, зазначених у верхній частині панелі, а потім переведіть у верхнє положення тумблери, розташовані під тими стовпцями, де зустрічається задумане імя Після натискання на кнопку SB1 «Відповідь» включиться світлодіод, індиціюється задумане імя Дешифратор DD1 перетворює чотирирозрядний двійковий код, що набирається тумблерами SA1-SA4, в позиційний 16-розрядний код При появі низького рівня на виході дешифратора, двійковий код якого набраний тумблерами, включається відповідний світлодіод, індиціюється загадане імя

Джерело: Фромберг Е М, Конструкції на елементах цифрової техніки М: Гаряча лінія-Телеком, 2002 264 с: Ил (Масова радіобібліотека Вип 1249)