Вивчення брахістохрони поклало початок швидкому розвитку варіаційного числення, яке дало можливість знаходити різні криві, що задовольняють вимозі бути «найкращими» для певних умов. Але деякі із завдань про найкращі кривих були відомі задовго до братів Бернуллі.

З давніх часів дійшла легенда про царицю Дидоне, яка купила у фінікійського царя Іорбаса стільки землі, скільки може покрити волова шкура. Поведінка Дідони при покупці наводилося, як приклад хитрощі. Вона розрізала шкуру на тонкі ремінці, зв’язала їх всі разом і обвела ними велику ділянку землі. Кінці ремінців Дідона не замкнулися, а залишила на березі моря, щоб і на море поширити свою владу.

Ця легенда служить основою для серії математичних задач: яка крива при заданій довжині охоплює найбільшу площу? І з давніх же часів було відомо (інтуїтивно, без строгих доказів, які були дані багато пізніше), що з усіх геометричних фігур із заданим периметром найбільшу площу має коло. А якщо крива не замкнута, а спирається на якісь точки, то між цими точками повинні бути проведені дуги кола (фіг. 7-26).

Завдання Дідони може бути ускладнена допущенням, що ціна землі не всюди однакова: чим ближче до берега, тим дорожче земля, а чим далі від берега, тим вартість землі менше. І ремінцем потрібно охопити НЕ найбільшу площу, а найбільшої вартості площу. Залежно від закону зміни вартості вийде та чи інша ‘крива.

Варіаційним методом можна досліджувати і задачу про самому великому ящику із заданого листа жерсті. У розділах 7-1 та 7-13 цієї глави ми обмежували себе умовою, що по кутах листа жерсті вирізаються прямолйнейние чотирикутники. Але більший обсяг ящика вийде, якщо вирізати з листа криволінійні фігури. Обриси цих кривих треба відшукувати прийомами варіаційного числення.

Варіаційні задачі в електротехніці

Завдання Дідони про криву, яка охоплює найбільшу площу, може бути корисна при розрахунку деяких випадків передачі енергії електромагнітної індукцією. У електротехнічної версії це завдання можна сформулювати так: потрібно побудувати приймальний виток, який охоплював би найбільший магнітний потік. Заданими вважаються довжина провідника, з якого виток виконується (периметр витка), і структура електромагнітного поля, в якому цей виток розташовується.

Коли магнітне поле таке, що в межах площі, яка охоплюється витком, сила поля змінюється незначно, то найбільший магнітний потік буде охоплений витком у формі кола. Але якщо магнітне поле неоднорідне: в одних місцях сильніше, а в інших слабше, то найкращий виток матиме обриси складної кривої.

На фіг. 7-27 показані «найкращі витки» поблизу прямолінійного, вельми протяжного провідника зі струмом. У просторі навколо такого провідника магнітне поле змінюється за гіперболічним законом

– Магнітна напруженість обернено пропорційна відстані від провідника.

Інший приклад застосування варіаційного методу – це питання про вибір найкращої форми ізолятора. У розділі другому ‘було сказано про те, що по всякому ізолятору завжди відбувається витік струму. Цей витік можна раз-

ділити на дві складові: поверхност

Фіг. 7-27. Приймальний контур (виток), який одержує найбільшу потужність (при заданому периметрі I) при розташуванні його поблизу прямолінійного провідника.

Коли периметр витка * менше, ніж відстань від центру витка до токонесущего провідника, то Наївигоднейшая форма витка близька до кола.

Чим менше відстань від проводу до приймального витка, тим більше приплющену і витягнуту форму повинен мати виток, щоб захопити найбільший магнітний потік. Щільність магнітного потоку пропорційна

ву і об’ємну. Ток об’ємного витікання йде через всю товщу ізолятора. Поверхнева ж витік визначається обрисом поверхні ізолятора. Більшість ізоляторів – це тіла обертання, і в них поверхнева витік визначається формою твірної (профілем).

Важливо підібрати таку форму поверхні ізолятора, щоб електричний опір поверхні було найбільшим і, отже, струм витоку по поверхні був би найменшим.

Незліченна кількість кривих може бути використане як твірної поверхні ізолятора. Варіаційний аналіз показує, що сферична поверхня ізолятора має найменше поверхневий опір, найбільшу поверхневу витік. Всяка інша поверхня, відмінна від сферичної, матиме менший струм витоку. Але найкращою поверхні не існує.

У цьому завданні варіаційний аналіз не дає наіяучшего, але вказує на найгірше, на те, чого конструктору слід уникати.

Джерело: Електрика працює Г.І.Бабат 1950-600M