З далекої давнини до наших днів дійшов клас своєрідних математичних задач. Багато хто з них приписуються Герону, олександрійському вченому 1-го сторіччя нашої ери. Такими завданнями займалися і в середні століття. І в наші дні ці завдання розробляються математиками і вивчаються в школах.

Ось одна з типових:

Найбільший ящик

Дан квадратний аркуш жерсті. З нього треба зробити ящик, відкритий зверху. Для цього в листі вирізаються по кутах рівні квадрати, а потім краї аркуша загинаються так, щоб утворити бічні стінки. Одержаний ящик може мати різні пропорції, можна зробити низькі, а можна – і високі бічні стінки.

Потрібно побудувати такий ящик, щоб обсяг його був найбільшим. Обсяг скриньки – це твір висоти його бічної стінки на площу основи. Якщо вирізати по краях даного листа маленькі квадрати і, отже, залишити велику площу основи, то висота бічної стінки буде мала, і ящик матиме малий обсяг (фіг. 7-1). Якщо ж! Е, навпаки, зробити велику висоту ящика, то залишиться мала площа підстави та обсяг буде також малий. Існує деяка певна висота бічної стінки, яку можна назвати оптимальною висотою, найкращою висотою (найкращою для даної задачі). При е * гой оптимальної

Фіг. 7- /, Ящик з квадратного листа жерсті, в якому зроблені квадратні же виреви.

висоті ящик має найбільший обсяг. Ця висота дорівнює одній шостій від сторони даного квадратного аркуша.

А ось інша задача в тому ж дусі:

Гонець з корабля

На деякій відстані від берега стоїть на якорі судно. Щоб внести чисельну визначеність у завдання »приймемо відстань від корабля до найближчої точки берега 9 км. На відстані 15 км від цієї точки берега (Також на березі) знаходиться табір. З корабля в табір надсилається гонець. Пішки по суще цей гонець може

Фіг. 7-2. Шлях гінця з корабля по воді і по березі в табір.

робити по 6 км на годину, а на веслах в шлюпці – по 4 км на годину. Треба послати гінця за таким маршрутом, щоб він здійснив свій шлях в найкоротший час. Потрібно знайти точку берега, куди повинен пристати молодик (Фіг. 7-2).

При даних співвідношеннях швидкостей це місце знаходиться в трьох кілометрах від табору.

Подібних завдань, де потрібно знайти якийсь найвигідніше оптимальне рішення, існує безліч.

Екстремальне значення функції

Можна ілюструвати обидві ці завдання-і з яішком і з гінцем – простими графіками. По горизонтальній осі графіка будемо відкладати ту величину, яку можна змінювати в сваволі, – незалежну змінну: чи то висоту бічної стінки ящика, чи то відстань від табору до місця причалювання гінця. За вер-

тікальной осі відкладають шукану ‘величину – функцію нашої незалежної змінної – обсяг ящика або час мандрування гінця. Виходять деякі криві. Одна з них має максимум (фіг. 7-3), інша має мінімум. Точки максимуму і мінімуму – це особливі точки кривих, в них крива робить поворот: від

Фаг. 7-3. Залежність обсягу ящика від висоти його бічної стінки.

підйому вона йде на спуск, або зі спуску переходить на підйом. Математики називають ці точки екстремальними точками. І тому всі завдання вищенаведеного типу називаються завданнями на максимум і мінімум, або екстремальними задачами. Один із прийомів вирішення таких завдань – це відшукання екстремальних точок, особливих точок на кривих.

7- 4. Інженерні приклади

У повсякденному житті постійно виникають проблеми найбільшого і найменшого, найкращого і найгіршого. Екстремальні задачі мають велике практичне значення.

Як побудувати ферму мосту, щоб вона при найменшому вазі мала найбільшу міцність?

Як розподілити метал в колоні, щоб вона була найбільш стійкою?

Як прокласти мережу доріг між декількома населеними пунктами, щоб ця мережа доріг володіла мінімальної загальною довжиною?

Безліч завдань з області планування виробництва відносяться до типу завдань на екстремум. Мається, скажімо, кілька верстатів різної продуктивності. Як розподілити між цими верстатами роботу, щоб підлозі * чить найбільшу кількість всієї продукції?

У розділі, присвяченому центральним електростанціям, було розказано про кульовий млині. Чим дрібніше вугільний пил, тим краще вона згорає в топці, тим менше Пшеров з несгоревшим паливом. Але для отримання більш дрібного пилу треба затратити більше електроенергії на обертання млина. Виходить, що невигідний як занадто грубий, так і занадто дрібний помел (при ньому зростають ще витрати на знос млинів і зменшується їх продуктивність). Існує оптимальний режим роботи кульових млинів.

Можна утилізувати тепло, що міститься у відхідних з котла димових газах, можна утилізувати тепло відпрацьованої пари з турбіни. Але всюди є свій оптимум, свій розумна межа. Іноді може виявитися, що пристосування для утилізації коштують дорожче, ніж можлива економія енергії. Не можна палити сотенну папірець, щоб при світлі її полум’я відшукувати загубився гривеник.

Іноді завдання на оптимум вирішуються елементарними прийомами, але часто представляють величезні математичні труднощі.

Дослідження Чебишева

«Велика частина питань практики наводиться до завдань найбільших і найменших величин, зовсім новим для науки, і тільки вирішенням цих завдань ми можемо задовольнити вимогам практики, яка всюди шукає найкращого, самого вигідного ».

Так писав майже сто років тому знаменитий математик академік Пафнутій Львович Чебишев. Безліч своїх наукових робіт він присвятив питанню: «як розташовувати засобами своїми для досягнення по можливості більшої вигоди? »Методи Чебишева стали зразком для наступних шукачів оптимуму.

Чебишев писав дослідження «Про зубчастих колесах», «Про кройке суконь», «Про побудову географічних карт». В останній роботі він задається метою визначити таку проекцію карти даної країни, для якої спотворення масштабу було б найменшим. На чисельному прикладі карти Європейської Росії Чебишев показав, що Наївигоднейшая проекція буде давати спотворення масштабу не більше 2%, тоді як прийняті в той час проекції давали спотворення не менше 4-5%.

Джерело: Електрика працює Г.І.Бабат 1950-600M