Є клас завдань, які дослідженнями на максимум і мінімум не вирішити. Для них потрібні більш тонкі обчислення. Необхідні методи були знайдені математиками задовго до виникнення промислової електротехніки.

У 1696 р у видатному науковому журналі тієї епохи «Акта Ерудіторум» була поміщена наступна задача (ми наведемо її в кілька вільному викладі).

З вершини крижаної гори котяться санки. Гору треба вважати ідеально гладкою, і санки рухаються по ній без жодного тертя, все прискорюючись у міру спуску. Задані місця розташування: вершини гори і деякої точки біля її основи. Питається: яке обрис повинна мати гора, щоб санки, скочуючись з її вершини, досягали заснування в найкоротший час?

Легко зрозуміти, що час спуску сильно залежить від обриси гори. Якщо зробити спуск прямолінійним, то санки спочатку будуть розганятися повільно. Ясно, що за прямим спуску санки слизнутимуть не в найкоротший час. Якщо ж, навпаки, спочатку зробити спуск дуже крутим, санки швидко розганятися, але зате біля основи гори санок доведеться пройти довгий ділянку.

Ні дуги кола, ні інші елементарні криві не давали рішення задачі про санках, котяться з гори.

Цю задачу запропонував Йоганн Бернуллі. Він оголосив, що володіє чудовим рішенням свого завдання, але не хоче публікувати цього рішення. Нехай найбільші математики спробують показати своє мистецтво у вирішенні цього нового типу математичних задач. Йоганн Бернуллі особливо викликав на змагання свого старшого брата Якоба, з яким він тоді різко ворогував і якого іменував невігласом[7].

Крива, по якій санки спустяться протягом найкоротшого часу, отримала назву «брахістохрони», від грецьких слів брахос – короткий і хронос – час.

Завдання про Брахістохрона захопила багатьох сучасників Бернуллі. У завданнях на максимум і мінімум, що досліджувалися до того часу, було потрібно знайти тільки одну особливу точку на задану виду кривої, в задачі же про Брахістохрона треба було знайти всю криву, що володіє якимись особливими властивостями – «найкращими» чи, «найгіршими» чи, в усякому разі екстремальними властивостями.

Завдання про Брахістохрона започаткувала нову вет * ві математики – варіаційного числення. Це більш тонкий і складний інструмент для пошуків кращих рішень, ніж просте дослідження на максимум і мінімум.

Найбільш відоме з перших рішень задачі про Брахістохрона дав «неосвічений» Якоб Бернуллі Виявилося, що брахістохрони є незадовго до того відкрита циклоїда (фіг. 7-24), т. Е. Крива, яку описує точка на окружності, коли ця окружність котиться без ковзання по прямій лінії. Циклоиду незадовго до того досліджував Гюйгенс і знайшов, що, якщо по цій кривій коливатиметься вантаж маятника, то період його коливання не буде залежати від розмаху. Тому циклоїда називалася таутохронность кривої, т. Е. Кривої постійного часу. Тепер виявилося, що вона ж є і брахістохрони.

Фіг. 7-24. Посібник для демонстрації циклоїди.

За закраїні Лоскі котиться круглий обруч. В обручі отвір, кула вставлений грифель. Коли обруч котиться, грифель описує циклоиду.

Санки скочуються з вершини гори в найкоротший

Фіг. 7-25. Таутохронность гора.

час, якщо вершину і підніжжя гори з’єднує відрізок циклоїди. А якщо вершина гори і її підніжжя до того ж так розташовані, що між ними укладається точно половина циклоїди, то на спуск як з вер-

Профіль гори має форму циклоїди. На різній висоті – в пунктах К, Я, Р стоять готові до старту санчата. Одночасно по команді санчата починають ковзати. Всі троє досягнутий підстави гори – точки Д-одночасно. Тут відбудеться зіткнення.

шини гори, так і з будь-якого її іншого місця вниз до підніжжя буде завжди затрачатися одне і те ж час (фіг. 7-25).

Джерело: Електрика працює Г.І.Бабат 1950-600M